Nos exercícios de 3 a 12, seja p a proporção populacional para a condição dada. Encontre as estimativas de ponto para p e q.
Viagem cansativa. Em uma pesquisa entre 3.224 adultos norte- -americanos, 1.515 disseram que voar é a forma mais cansativa de viajar.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei esses números do enunciado):
  • Número de adultos entrevistados: n=3224.
  • Número que disseram que voar é a forma mais cansativa: x=1515.
O que o problema pede:
  • Encontrar a estimativa de ponto para p (a proporção populacional que acha que voar é o mais cansativo).
  • Encontrar a estimativa de ponto para q (a proporção complementar, isto é, q=1-p).

Passo 2

Definição e fórmula da estimativa de ponto para p.
  • Em amostragem de proporções, a estimativa de ponto mais natural para a proporção populacional p é a proporção amostral \hat{p}, definida por:
\hat{p}=\frac{x}{n}.
  • Aqui: x é o número de “sucessos” na amostra (pessoas que responderam que voar é o mais cansativo) e n é o tamanho da amostra (total entrevistados).
  • Intuição didática: \hat{p} é simplesmente a fração da amostra com a característica de interesse. É usada como estimativa de p porque, em média, essa fração tende a coincidir com a proporção verdadeira da população (é um estimador não viesado).

Passo 3

Cálculo explícito de \hat{p}.
  • Substituindo os números:
\hat{p}=\frac{1515}{3224}.
  • Para transformar em decimal: multiplicando o numerador por 10000 e dividindo por 3224 obtém-se os quatro primeiros dígitos decimais. O resultado exato em decimal é aproximadamente
\hat{p}\approx 0,469913\ldots
  • Arredondando razoavelmente (por exemplo, quatro casas decimais):
\hat{p}\approx 0,4699.

Passo 4

Definição e fórmula da estimativa de ponto para q.
  • Por definição, q=1-p. Então a estimativa natural para q é
\hat{q}=1-\hat{p}.
  • Alternativamente podemos calcular \hat{q} diretamente como a proporção de não-sucessos na amostra:
\hat{q}=\frac{n-x}{n}.

Passo 5

Cálculo explícito de \hat{q}.
  • Usando a forma com diferenças:
\hat{q}=\frac{3224-1515}{3224}=\frac{1709}{3224}.
  • Em decimal isso vale aproximadamente
\hat{q}\approx 0,530087\ldots
  • Arredondando a quatro casas decimais:
\hat{q}\approx 0,5301.

Passo 6

Verificação rápida e interpretação.
  • Checagem: \hat{p}+\hat{q}=0,469913\ldots+0,530087\ldots=1{,}0, como esperado.
  • Interpretação em palavras: a estimativa pontual é que cerca de 46{,}99\% dos adultos pesquisados acham que voar é o mais cansativo, e cerca de 53{,}01\% não acham (ou escolheram outra forma).

Resposta

\hat{p}=\dfrac{1515}{3224}\approx 0,4699
\hat{q}=\dfrac{1709}{3224}\approx 0,5301

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