Nos exercícios de 3 a 12, seja p a proporção populacional para a condição dada. Encontre as estimativas de ponto para p e q.
Auditoria de impostos. Em uma pesquisa feita entre 1.000 adultos norte-americanos, 230 disseram que estavam, de alguma forma, preocupados com a possibilidades de sofrerem uma auditoria em seus impostos.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (peguei esses números diretamente do enunciado):
  • Tamanho da amostra: n=1000.
  • Número de adultos que disseram estar preocupados: x=230.
O que o problema pede:
  • Encontrar a estimativa de ponto para p (a proporção populacional que está preocupada).
  • Encontrar a estimativa de ponto para q (onde q=1-p, ou seja, a proporção populacional que NÃO está preocupada).

Passo 2

Definição do estimador de ponto para a proporção populacional:
  • A estimativa de ponto mais usada para p é a proporção amostral \hat{p}, definida por
\hat{p}=\frac{x}{n},
onde x é o número de sucessos na amostra (aqui: preocupados) e n é o tamanho da amostra. Explicando as variáveis: x é contado diretamente na pesquisa; n é quantas pessoas foram entrevistadas.
  • Propriedade importante (rápida aula): \hat{p} é um estimador não viesado de p, ou seja, E(\hat{p})=p. A variância de \hat{p} é \mathrm{Var}(\hat{p})=\dfrac{p(1-p)}{n}, e uma estimativa da raiz da variância (erro padrão estimado) é
\widehat{\mathrm{se}}(\hat{p})=\sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}},
onde \hat{q}=1-\hat{p}. Isso nos dá uma ideia de quão precisa é a estimativa pontual.

Passo 3

Calcular a estimativa de ponto \hat{p}:
\hat{p}=\frac{x}{n}=\frac{230}{1000}=0,23.
Interpretação: a melhor estimativa pontual, com base nessa amostra, é que 23\% da população adulta está preocupada com a possibilidade de auditoria.

Passo 4

Definir e calcular a estimativa de ponto para q. Por definição,
q=1-p.
O estimador correspondente é
\hat{q}=1-\hat{p}.

Passo 5

Calcular numericamente \hat{q}:
\hat{q}=1-0,23=0,77.
Interpretação: a melhor estimativa pontual é que 77\% da população NÃO está preocupada.

Passo 6

(Comentário prático — erro padrão) Calcular o erro padrão estimado para \hat{p} para ter uma noção da precisão:
\widehat{\mathrm{se}}(\hat{p})=\sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}=\sqrt{\frac{0,23\cdot 0,77}{1000}}=\sqrt{0,0001771}\approx 0,0133.
Interpretação: o erro padrão é aproximadamente 0,0133, ou seja, cerca de 1,33 pontos percentuais. Isso ajuda a entender que a estimativa 0,23 tem uma imprecisão típica de ± 0,013 (uma ideia útil na prova se perguntarem intervalo de confiança ou margem de erro).

Resposta

\hat{p}=0,23
\hat{q}=0,77

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