Nos exercícios 13-16, derive as funções e determine o coeficiente angular da tangente no valor dado da variável independente.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Derivar a função (ou seja, encontrar
, a derivada em termos de ). - Determinar o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto onde
.
Informações fornecidas:
- A função:
. - O valor da variável onde queremos a inclinação da tangente:
.
Passo 2
O que significa “derivar” aqui (no sentido que vamos usar)?
A derivada de uma função
é, geometricamente, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
em cada ponto
. Analiticamente, a derivada pode ser definida como o limite
A derivada
Essa definição é a base: ela mede a taxa de variação instantânea de
quando
varia. Para funções polinomiais e funções compostas simples, existem regras que tornam o cálculo mais direto (evitam fazer o limite toda vez).
Passo 3
Apresentando a regra prática que usaremos (de forma didática): a regra da potência combinada com a regra da cadeia.
- Regra da potência (caso simples): para a função
com inteiro positivo, a derivada é
Isto é, “traz o expoente para frente e diminui o expoente em uma unidade”.
- Regra da cadeia (para função composta): se
, então
Ou seja, deriva-se a função externa em relação à sua entrada e multiplica-se pela derivada da função interna.
Vou explicar com um exemplo rápido e simples: se
, aqui a parte externa é “algo ao cubo” e a parte interna é
. Pela regra da cadeia, derivamos a parte externa em relação a
(usando a regra da potência) e multiplicamos por
.
Passo 4
Aplicando essas regras à função dada. Primeiro identifique a função interna e externa:
- Defina
. Então a função é . - Derivada da função interna:
, porque a derivada de é e de constante é .
Agora derive a parte externa
usando a regra da potência:
Pela regra da cadeia:
Substituindo
:
Portanto a derivada em termos de
é
.
Passo 5
Agora calcula o coeficiente angular da tangente no ponto onde
. Isso significa avaliar a derivada em
:
Calcule passo a passo:
Interpretação: a reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa
tem coeficiente angular
. Isso quer dizer que, se andar um pouco para a direita no eixo
, a variação aproximada em
será cerca de
vezes essa variação em
.
Passo 6
Resumo final do que encontramos e um reforço para decorar:
- Para potências compostas do tipo
, aplique a regra da potência na parte externa e multiplique pela derivada da parte interna (regra da cadeia). - Aqui deu
e, ao avaliar em , obteve-se .
Resposta
Coeficiente angular da tangente em