Nos exercícios 13-16, derive as funções e determine o coeficiente angular da tangente no valor dado da variável independente.
y=(x+1)^{3}, x=-2

Passo 1

O enunciado dá a função \,y=(x+1)^{3}\, e pede duas coisas:
  • Derivar a função (ou seja, encontrar y', a derivada em termos de x).
  • Determinar o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto onde x=-2.
Informações fornecidas:
  • A função: \,y=(x+1)^{3}.
  • O valor da variável onde queremos a inclinação da tangente: \,x=-2.

Passo 2

O que significa “derivar” aqui (no sentido que vamos usar)?
A derivada y'(x) de uma função y(x) é, geometricamente, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de y em cada ponto x. Analiticamente, a derivada pode ser definida como o limite
y'(x)=\lim_{h\to0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}.
Essa definição é a base: ela mede a taxa de variação instantânea de y quando x varia. Para funções polinomiais e funções compostas simples, existem regras que tornam o cálculo mais direto (evitam fazer o limite toda vez).

Passo 3

Apresentando a regra prática que usaremos (de forma didática): a regra da potência combinada com a regra da cadeia.
  • Regra da potência (caso simples): para a função \,f(x)=x^{n}\, com n inteiro positivo, a derivada é
f'(x)=n x^{n-1}.
Isto é, “traz o expoente para frente e diminui o expoente em uma unidade”.
  • Regra da cadeia (para função composta): se y = g(u(x)), então
y'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
Ou seja, deriva-se a função externa em relação à sua entrada e multiplica-se pela derivada da função interna.
Vou explicar com um exemplo rápido e simples: se y=(x+1)^3, aqui a parte externa é “algo ao cubo” e a parte interna é u(x)=x+1. Pela regra da cadeia, derivamos a parte externa em relação a u (usando a regra da potência) e multiplicamos por u'(x).

Passo 4

Aplicando essas regras à função dada. Primeiro identifique a função interna e externa:
  • Defina \,u(x)=x+1. Então a função é y = u(x)^{3}.
  • Derivada da função interna: \,u'(x)=\dfrac{d}{dx}(x+1)=1, porque a derivada de x é 1 e de constante é 0.
Agora derive a parte externa g(u)=u^{3} usando a regra da potência:
g'(u)=3u^{2}.
Pela regra da cadeia:
y'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x)=3\bigl(u(x)\bigr)^{2}\cdot 1.
Substituindo u(x)=x+1:
y'(x)=3(x+1)^{2}.
Portanto a derivada em termos de x é \,y'=3(x+1)^{2}.

Passo 5

Agora calcula o coeficiente angular da tangente no ponto onde \,x=-2. Isso significa avaliar a derivada em x=-2:
y'(-2)=3\bigl((-2)+1\bigr)^{2}.
Calcule passo a passo:
(-2)+1 = -1,
(-1)^{2}=1,
y'(-2)=3\cdot 1 = 3.
Interpretação: a reta tangente ao gráfico de \,y=(x+1)^{3} no ponto de abscissa \,x=-2 tem coeficiente angular \,3. Isso quer dizer que, se andar um pouco para a direita no eixo x, a variação aproximada em y será cerca de 3 vezes essa variação em x.

Passo 6

Resumo final do que encontramos e um reforço para decorar:
  • Para potências compostas do tipo (\text{algo})^{n}, aplique a regra da potência na parte externa e multiplique pela derivada da parte interna (regra da cadeia).
  • Aqui deu \,y'(x)=3(x+1)^{2} e, ao avaliar em \,x=-2, obteve-se \,y'(-2)=3.

Resposta

y'=3(x+1)^{2}
Coeficiente angular da tangente em x=-2: 3

Exercícios relacionados