Grafe, no plano
, os pontos
tais que
.
Passo 1
O enunciado pede: grafe, no plano
, os pontos
tais que
.
Informações dadas:
- A condição que define os pontos é
. - O domínio de interesse é o plano cartesiano, isto é, todos os pares
com e .
O que se quer no final: descrever (e desenhar mentalmente) o lugar geométrico desses pontos — isto é, que curva(s) do plano satisfaz(em) a igualdade.
Passo 2
Entender a propriedade do valor absoluto que vamos usar. Para números reais
e
vale a equivalência:
Esta propriedade vem do fato de que
, logo
implica
, que é equivalente a
, isto é,
ou
.
Passo 3
Aplicando essa ideia à nossa igualdade
: substituindo
e
, obtemos
Também podemos ver isso elevando ao quadrado ambos os lados:
o que novamente dá
ou
.
Passo 4
Interpretando geometricamente cada solução:
- A equação
representa uma reta passando pela origem com coeficiente angular (inclinação) . É a diagonal que sobe à direita (45° em relação ao eixo ). - A equação
representa outra reta passando pela origem com coeficiente angular . É a diagonal que desce à direita (‑45° em relação ao eixo ).
As duas retas se cruzam na origem
, que satisfaz
.
Passo 5
Uma forma paramétrica (útil para desenhar) do conjunto solução é:
Isto significa: para cada real
há um ponto na reta
e um ponto na reta
.
Passo 6
Alguns exemplos de pontos que satisfazem a condição (bons para conferir ao desenhar):
Colocando esses pontos no papel percebe-se claramente as duas retas em forma de “X”.