Grafe, no plano \boldsymbol{R} \times \boldsymbol{R}, os pontos (x, y) tais que |y|=|x|.

Passo 1

O enunciado pede: grafe, no plano \mathbb{R}\times\mathbb{R}, os pontos (x,y) tais que |y|=|x|.
Informações dadas:
  • A condição que define os pontos é |y|=|x|.
  • O domínio de interesse é o plano cartesiano, isto é, todos os pares (x,y) com x\in\mathbb{R} e y\in\mathbb{R}.
O que se quer no final: descrever (e desenhar mentalmente) o lugar geométrico desses pontos — isto é, que curva(s) do plano satisfaz(em) a igualdade.

Passo 2

Entender a propriedade do valor absoluto que vamos usar. Para números reais a e b vale a equivalência:
|a|=|b| \quad\Longleftrightarrow\quad a=b \\ \text{ou}\\ a=-b.
Esta propriedade vem do fato de que |a|^2=a^2, logo |a|=|b| implica a^2=b^2, que é equivalente a (a-b)(a+b)=0, isto é, a=b ou a=-b.

Passo 3

Aplicando essa ideia à nossa igualdade |y|=|x|: substituindo a=y e b=x, obtemos
|y|=|x| \quad\Longleftrightarrow\quad y=x \\ \text{ou}\\ y=-x.
Também podemos ver isso elevando ao quadrado ambos os lados:
|y|^2=|x|^2 \quad\Rightarrow\quad y^2=x^2 \quad\Rightarrow\quad y^2-x^2=0 \quad\Rightarrow\quad (y-x)(y+x)=0,
o que novamente dá y=x ou y=-x.

Passo 4

Interpretando geometricamente cada solução:
  • A equação y=x representa uma reta passando pela origem com coeficiente angular (inclinação) 1. É a diagonal que sobe à direita (45° em relação ao eixo x).
  • A equação y=-x representa outra reta passando pela origem com coeficiente angular -1. É a diagonal que desce à direita (‑45° em relação ao eixo x).
As duas retas se cruzam na origem (0,0), que satisfaz |0|=|0|.

Passo 5

Uma forma paramétrica (útil para desenhar) do conjunto solução é:
\{(t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}\\ \cup\\ \{(t,-t)\mid t\in\mathbb{R}\}.
Isto significa: para cada real t há um ponto na reta y=x e um ponto na reta y=-x.

Passo 6

Alguns exemplos de pontos que satisfazem a condição (bons para conferir ao desenhar):
(1,1),\\ (1,-1),\\ (2,2),\\ (2,-2),\\ (-3,-3),\\ (-3,3),\\ (0,0).
Colocando esses pontos no papel percebe-se claramente as duas retas em forma de “X”.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y=x\}\\ \cup\\ \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y=-x\}

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