Se x, y, z pertencem a R, então x \leq y \leq z se e somente se |x-y|+|y-z|=|x-z|.

Passo 1

O enunciado dá que x,y,z\in\mathbb{R} e afirma a equivalência
x\le y\le z\quad\text{se e somente se}\quad |x-y|+|y-z|=|x-z|.
O que é pedido: provar (ou refutar) essa equivalência, ou seja:
  • provar que se x\le y\le z então |x-y|+|y-z|=|x-z|;
  • provar que se |x-y|+|y-z|=|x-z| então x\le y\le z (a parte recíproca).
    Todas as informações relevantes estão nos próprios números reais x,y,z e na expressão com valor absoluto.

Passo 2

Relembrando propriedades úteis (explicadas passo a passo, sem assumir conhecimento prévio):
  • Para quaisquer a,b\in\mathbb{R}\), a definição prática do valor absoluto é: \[|a-b| = \begin{cases} b-a, & \text{se } a\le b,\\[4pt] a-b, & \text{se } a\ge b. \end{cases}Ou seja, |a-b|\] mede a distância entre \(a e b e é sempre não negativa.
  • A desigualdade triangular (para números reais) diz que, para quaisquer u,v\in\mathbb{R}, |u+v|\le |u|+|v|.No caso que vamos usar, tome u=x-y e v=y-z; então sempre vale |x-z| = |(x-y)+(y-z)| \le |x-y| + |y-z|.Além disso, é importante saber quando ocorre igualdade na desigualdade triangular: a igualdade |u+v| = |u| + |v| acontece exatamente quando u e v têm o mesmo sinal (isto é, uv\ge 0) — mostrarei isso em detalhe quando for necessário.]

Passo 3

Prova da direção direta: x\le y\le z \implies |x-y|+|y-z| = |x-z|.
  • Se x\le y\le z, então por definição do valor absoluto temos |x-y| = y-x \qquad\text{e}\qquad |y-z| = z-y,porque em cada caso o segundo número é maior ou igual ao primeiro.
  • Somando essas igualdades: |x-y| + |y-z| = (y-x) + (z-y) = z-x.
  • Como x\le z (porque x\le y\le z), também vale |x-z| = z-x. Assim |x-y| + |y-z| = z-x = |x-z|.
Isso conclui a primeira implicação. (Boa! Essa parte é direta: se y está entre x e z em ordem crescente, as distâncias somam a distância total.)

Passo 4

Análise da direção recíproca: o que implica a igualdade |x-y|+|y-z| = |x-z|?
  • Como já observamos, sempre existe a desigualdade |x-z| \le |x-y| + |y-z|.Se, além disso, ocorre igualdade |x-z| = |x-y| + |y-z|,então, com u:=x-y e v:=y-z, temos |u+v| = |u| + |v|.
  • Vou mostrar por que isso força uv\ge 0 (ou seja, u e v têm o mesmo sinal). Partindo de |u+v| = |u| + |v|,elevando ambos os lados ao quadrado (procedimento válido porque ambos os lados são não negativos) obtemos (u+v)^2 = (|u|+|v|)^2.Expandindo: u^2 + 2uv + v^2 = u^2 + 2|u||v| + v^2.Cancelando u^2+v^2 em ambos os lados sobra 2uv = 2|u||v| \quad\Longrightarrow\quad uv = |u||v|.A igualdade uv = |u||v| só é possível quando uv\ge 0 (porque |u||v|\ge 0 sempre), ou seja, u e v têm o mesmo sinal (ou um deles é zero).
  • Retornando à notação original, u=x-y e v=y-z. Portanto (x-y)(y-z)\ge 0. Isso se traduz em duas possibilidades:
    • x-y\le 0 e y-z\le 0, isto é x\le y e y\le z, ou
    • x-y\ge 0 e y-z\ge 0, isto é x\ge y e y\ge z.
  • Em palavras: a igualdade acontece exatamente quando y está “entre” x e z, podendo ser numa ordem crescente ( x\le y\le z) ou decrescente ( x\ge y\ge z), ou seja, quando y pertence ao intervalo fechado com extremos x e z.

Passo 5

Um contraexemplo simples mostra que a implicação recíproca estrita para a modalidade apenas crescente é falsa.
  • Tome x=2,\; y=1,\; z=0. Então |x-y|+|y-z| = |2-1|+|1-0| = 1+1 = 2,e |x-z| = |2-0| = 2,logo a igualdade |x-y|+|y-z|=|x-z| vale.
  • Mas claramente x\le y\le z é falso porque 2\not\le 1. No caso temos x\ge y\ge z. Portanto a igualdade não implica necessariamente x\le y\le z.

Passo 6

Conclusão correta, reunindo tudo de forma clara e definitiva:
  • A implicação direta é verdadeira: se x\le y\le z então |x-y|+|y-z|=|x-z|.
  • A implicação recíproca, como escrita no enunciado, é falsa isoladamente. A igualdade |x-y|+|y-z|=|x-z| ocorre exatamente quando y está entre x e z, isto é, quando uma das duas ordens monotônicas ocorre: x\le y\le z \quad\text{ou}\quad z\le y\le x.

Resposta

A afirmação dada é falsa. A igualdade |x-y|+|y-z|=|x-z| ocorre se e somente se y está entre x e z, isto é,
|x-y|+|y-z|=|x-z|\iff \bigl(x\le y\le z\bigr)\\ \lor\\ \bigl(z\le y\le x\bigr).

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