Se
pertencem a
, então
se e somente se
.
Passo 1
O enunciado dá que
e afirma a equivalência
O que é pedido: provar (ou refutar) essa equivalência, ou seja:
- provar que se
então ; - provar que se
então (a parte recíproca).
Todas as informações relevantes estão nos próprios números reaise na expressão com valor absoluto.
Passo 2
Relembrando propriedades úteis (explicadas passo a passo, sem assumir conhecimento prévio):
- Para quaisquer
Ou seja,
e
e é sempre não negativa. - A desigualdade triangular (para números reais) diz que, para quaisquer
, No caso que vamos usar, tome e ; então sempre vale Além disso, é importante saber quando ocorre igualdade na desigualdade triangular: a igualdade acontece exatamente quando e têm o mesmo sinal (isto é, ) — mostrarei isso em detalhe quando for necessário.]
Passo 3
Prova da direção direta:
.
- Se
, então por definição do valor absoluto temos porque em cada caso o segundo número é maior ou igual ao primeiro. - Somando essas igualdades:
- Como
(porque ), também vale . Assim
Isso conclui a primeira implicação. (Boa! Essa parte é direta: se
está entre
e
em ordem crescente, as distâncias somam a distância total.)
Passo 4
Análise da direção recíproca: o que implica a igualdade
?
- Como já observamos, sempre existe a desigualdade
Se, além disso, ocorre igualdade então, com e , temos - Vou mostrar por que isso força
(ou seja, e têm o mesmo sinal). Partindo de elevando ambos os lados ao quadrado (procedimento válido porque ambos os lados são não negativos) obtemos Expandindo: Cancelando em ambos os lados sobra A igualdade só é possível quando (porque sempre), ou seja, e têm o mesmo sinal (ou um deles é zero). - Retornando à notação original,
e . Portanto . Isso se traduz em duas possibilidades: -
e , isto é e , ou -
e , isto é e .
-
- Em palavras: a igualdade acontece exatamente quando
está “entre” e , podendo ser numa ordem crescente ( ) ou decrescente ( ), ou seja, quando pertence ao intervalo fechado com extremos e .
Passo 5
Um contraexemplo simples mostra que a implicação recíproca estrita para a modalidade apenas crescente é falsa.
- Tome
. Então e logo a igualdade vale. - Mas claramente
é falso porque . No caso temos . Portanto a igualdade não implica necessariamente .
Passo 6
Conclusão correta, reunindo tudo de forma clara e definitiva:
- A implicação direta é verdadeira: se
então . - A implicação recíproca, como escrita no enunciado, é falsa isoladamente. A igualdade
ocorre exatamente quando está entre e , isto é, quando uma das duas ordens monotônicas ocorre:
Resposta
A afirmação dada é falsa. A igualdade
ocorre se e somente se
está entre
e
, isto é,