Nos Exercícios 13-16, determine o desvio-padrão dos dados resumidos na tabela de frequências.
Dá-se a seguir, numa tabela de frequências, um resumo das idades de carros de alunos e de professores e funcionários da faculdade do autor. Determine o desvio-padrão de cada conjunto de dados.
Idade
Estudantes
Professores/
Funcionários
23
30
33
47
63
36
68
30
19
8
10
0
1
0
0
1
Dá-se a seguir, numa tabela de frequências, um resumo das idades de carros de alunos e de professores e funcionários da faculdade do autor. Determine o desvio-padrão de cada conjunto de dados.
| Idade | Estudantes |
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23 | 30 | ||
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33 | 47 | ||
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63 | 36 | ||
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68 | 30 | ||
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19 | 8 | ||
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10 | 0 | ||
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1 | 0 | ||
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0 | 1 |
Passo 1
O enunciado pede: determinar o desvio-padrão de cada um dos dois conjuntos de dados que estão resumidos na tabela de frequências (idades dos carros). As perguntas são:
- Calcular o desvio-padrão para o conjunto “Estudantes”.
- Calcular o desvio-padrão para o conjunto “Professores/Funcionários”.
Informações fornecidas (retirei diretamente da tabela do enunciado):
Esses são todos os dados que precisamos para resolver o problema.
Passo 2
Decisão do método (explicação e justificativa rápida, sem termos técnicos complicados):
- Os dados estão agrupados em classes (por exemplo,
, , …). Quando temos uma tabela assim, o procedimento padrão é substituir cada classe pelo seu ponto médio (que representa os valores nessa classe) e aplicar as fórmulas de média e variância ponderadas pelas frequências. - Vou tratar os dados como a população inteira desses carros (isto é, vou calcular o desvio-padrão populacional). Isso é o que os exercícios de tabelas agrupadas normalmente pedem quando não dizem explicitamente que é uma amostra. Se o professor quisesse o desvio amostral, usaríamos um fator de correção (
) — eu explico isso caso você queira depois, mas aqui usarei a fórmula direta de população.
Fórmulas que vamos usar e o que significam:
- Sejam as classes com pontos médios
e frequências , o total de observações é
- A média (populacional) é
onde
é “quantas vezes” vale
.
- A variância populacional é
Explicação curta:
é a média dos quadrados; subtrair
dá a média dos quadrados dos desvios. Por fim,
é o desvio-padrão (ou seja, a raiz quadrada da variância).
Passo 3
Calcular os pontos médios das classes (cada ponto médio
é
):
Vou usar esses
como representativos das classes.
Passo 4
Cálculos para “Estudantes” — montar as somas necessárias passo a passo.
Tabela dos produtos
e
(peguei as frequências da tabela do enunciado):
- Para
, : , . - Para
, : , . - Para
, : , . - Para
, : , . - Para
, : , . - Para
, : , . - Para
, : , . - Para
, : , .
Agora somamos:
Passo 5
Continuando “Estudantes”: cálculo da média, da variância e do desvio-padrão com explicações nas contas.
Média:
(Expliquei antes: isso significa que, em média, a idade dos carros dos estudantes é cerca de
anos.)
Variância usando a forma numérica que evita muito arredondamento:
Para reduzir erro de arredondamento podemos escrever com um único numerador:
Logo o desvio-padrão:
Interpretação: a dispersão típica das idades dos carros dos estudantes é cerca de
anos.
Passo 6
Cálculos para “Professores/Funcionários” — mesma rotina.
Produtos
e
(usei as frequências da tabela):
- Para
, : , . - Para
, : , . - Para
, : , . - Para
, : , . - Para
, : , . - Para
, : , . - Para
, : , . - Para
, : , .
Somando:
Passo 7
Continuando “Professores/Funcionários”: média, variância e desvio-padrão.
Média:
Variância (usando a forma sem arredondar muito):
Desvio-padrão: