Nos Exercícios 13-16, determine o desvio-padrão dos dados resumidos na tabela de frequências.
Dá-se a seguir, numa tabela de frequências, um resumo das idades de carros de alunos e de professores e funcionários da faculdade do autor. Determine o desvio-padrão de cada conjunto de dados.
Idade Estudantes
Professores/
Funcionários
0-2 23 30
3-5 33 47
6-8 63 36
9-11 68 30
12-14 19 8
15-17 10 0
18-20 1 0
21-23 0 1

Passo 1

O enunciado pede: determinar o desvio-padrão de cada um dos dois conjuntos de dados que estão resumidos na tabela de frequências (idades dos carros). As perguntas são:
  • Calcular o desvio-padrão para o conjunto “Estudantes”.
  • Calcular o desvio-padrão para o conjunto “Professores/Funcionários”.
Informações fornecidas (retirei diretamente da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccccccc} \text{Classe (anos)} & 0\text{-}2 & 3\text{-}5 & 6\text{-}8 & 9\text{-}11 & 12\text{-}14 & 15\text{-}17 & 18\text{-}20 & 21\text{-}23\\hline \text{Estudantes }(f) & 23 & 33 & 63 & 68 & 19 & 10 & 1 & 0\\\ \text{Prof./Func. }(f) & 30 & 47 & 36 & 30 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{array}
Esses são todos os dados que precisamos para resolver o problema.

Passo 2

Decisão do método (explicação e justificativa rápida, sem termos técnicos complicados):
  • Os dados estão agrupados em classes (por exemplo, 0\text{-}2, 3\text{-}5, …). Quando temos uma tabela assim, o procedimento padrão é substituir cada classe pelo seu ponto médio (que representa os valores nessa classe) e aplicar as fórmulas de média e variância ponderadas pelas frequências.
  • Vou tratar os dados como a população inteira desses carros (isto é, vou calcular o desvio-padrão populacional). Isso é o que os exercícios de tabelas agrupadas normalmente pedem quando não dizem explicitamente que é uma amostra. Se o professor quisesse o desvio amostral, usaríamos um fator de correção ( n-1) — eu explico isso caso você queira depois, mas aqui usarei a fórmula direta de população.
Fórmulas que vamos usar e o que significam:
  • Sejam as classes com pontos médios x_i e frequências f_i, o total de observações é
N=\sum_i f_i.
  • A média (populacional) é
\mu=\frac{1}{N}\sum_i f_i x_i,
onde f_i x_i é “quantas vezes” vale x_i.
  • A variância populacional é
\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_i f_i x_i^2 - \mu^2.
Explicação curta: \frac{1}{N}\sum_i f_i x_i^2 é a média dos quadrados; subtrair \mu^2 dá a média dos quadrados dos desvios. Por fim,
\sigma=\sqrt{\sigma^2}
é o desvio-padrão (ou seja, a raiz quadrada da variância).

Passo 3

Calcular os pontos médios das classes (cada ponto médio x_i é \dfrac{\text{limite inferior}+\text{limite superior}}{2}):
\begin{array}{c|cccccccc} \text{Classe} & 0\text{-}2 & 3\text{-}5 & 6\text{-}8 & 9\text{-}11 & 12\text{-}14 & 15\text{-}17 & 18\text{-}20 & 21\text{-}23\\hline x_i & 1 & 4 & 7 & 10 & 13 & 16 & 19 & 22 \end{array}
Vou usar esses x_i como representativos das classes.

Passo 4

Cálculos para “Estudantes” — montar as somas necessárias passo a passo.
Tabela dos produtos f_i x_i e f_i x_i^2 (peguei as frequências da tabela do enunciado):
  • Para x_1=1, f_1=23: f_1 x_1 = 23, f_1 x_1^2 = 23.
  • Para x_2=4, f_2=33: f_2 x_2 = 132, f_2 x_2^2 = 528.
  • Para x_3=7, f_3=63: f_3 x_3 = 441, f_3 x_3^2 = 3087.
  • Para x_4=10, f_4=68: f_4 x_4 = 680, f_4 x_4^2 = 6800.
  • Para x_5=13, f_5=19: f_5 x_5 = 247, f_5 x_5^2 = 3211.
  • Para x_6=16, f_6=10: f_6 x_6 = 160, f_6 x_6^2 = 2560.
  • Para x_7=19, f_7=1: f_7 x_7 = 19, f_7 x_7^2 = 361.
  • Para x_8=22, f_8=0: f_8 x_8 = 0, f_8 x_8^2 = 0.
Agora somamos:
N=\sum_i f_i = 23+33+63+68+19+10+1+0 = 217.
\sum_i f_i x_i = 23+132+441+680+247+160+19+0 = 1702.
\sum_i f_i x_i^2 = 23+528+3087+6800+3211+2560+361+0 = 16570.

Passo 5

Continuando “Estudantes”: cálculo da média, da variância e do desvio-padrão com explicações nas contas.
Média:
\mu=\frac{1}{N}\sum_i f_i x_i = \frac{1702}{217}\approx 7,843317\\ (\text{anos}).
(Expliquei antes: isso significa que, em média, a idade dos carros dos estudantes é cerca de 7{,}84 anos.)
Variância usando a forma numérica que evita muito arredondamento:
\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_i f_i x_i^2 - \mu^2 =\frac{16570}{217}-\left(\frac{1702}{217}\right)^2.
Para reduzir erro de arredondamento podemos escrever com um único numerador:
\sigma^2=\frac{16570\cdot 217 - 1702^2}{217^2} =\frac{3595690 - 2896804}{47089} =\frac{698886}{47089}\approx 14,8418.
Logo o desvio-padrão:
\sigma=\sqrt{14,8418}\approx 3,85\\ (\text{anos}).
Interpretação: a dispersão típica das idades dos carros dos estudantes é cerca de 3{,}85 anos.

Passo 6

Cálculos para “Professores/Funcionários” — mesma rotina.
Produtos f_i x_i e f_i x_i^2 (usei as frequências da tabela):
  • Para x_1=1, f_1=30: f_1 x_1 = 30, f_1 x_1^2 = 30.
  • Para x_2=4, f_2=47: f_2 x_2 = 188, f_2 x_2^2 = 752.
  • Para x_3=7, f_3=36: f_3 x_3 = 252, f_3 x_3^2 = 1764.
  • Para x_4=10, f_4=30: f_4 x_4 = 300, f_4 x_4^2 = 3000.
  • Para x_5=13, f_5=8: f_5 x_5 = 104, f_5 x_5^2 = 1352.
  • Para x_6=16, f_6=0: f_6 x_6 = 0, f_6 x_6^2 = 0.
  • Para x_7=19, f_7=0: f_7 x_7 = 0, f_7 x_7^2 = 0.
  • Para x_8=22, f_8=1: f_8 x_8 = 22, f_8 x_8^2 = 484.
Somando:
N=\sum_i f_i = 30+47+36+30+8+0+0+1 = 152.
\sum_i f_i x_i = 30+188+252+300+104+0+0+22 = 896.
\sum_i f_i x_i^2 = 30+752+1764+3000+1352+0+0+484 = 7382.

Passo 7

Continuando “Professores/Funcionários”: média, variância e desvio-padrão.
Média:
\mu=\frac{896}{152}=\frac{112}{19}\approx 5,894737\\ (\text{anos}).
Variância (usando a forma sem arredondar muito):
\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_i f_i x_i^2 - \mu^2 =\frac{7382}{152}-\left(\frac{896}{152}\right)^2 =\frac{7382\cdot 152 - 896^2}{152^2} =\frac{1122064 - 802816}{23104} =\frac{319248}{23104}\approx 13,8179.
Desvio-padrão:
\sigma=\sqrt{13,8179}\approx 3,72\\ (\text{anos}).

Resposta

\text{Estudantes: }3,85
\text{Professores/Funcionários: }3,72á

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