Nos Exercícios 13-16, determine o desvio-padrão dos dados resumidos na tabela de frequências.
A tabela de frequências a seguir dá as velocidades desenvolvidas por motoristas multados na cidade de Poughkeepsie em um trecho onde a velocidade máxima é de
.
Velocidade
Frequência
14
11
8
6
4
3
1
2
0
1
A tabela de frequências a seguir dá as velocidades desenvolvidas por motoristas multados na cidade de Poughkeepsie em um trecho onde a velocidade máxima é de
| Velocidade | Frequência |
|
|
14 |
|
|
11 |
|
|
8 |
|
|
6 |
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
1 |
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o desvio-padrão dos dados resumidos na tabela de frequências.\n
Informações dadas (classe de velocidade e frequência):\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
Nada mais é fornecido; a tabela resume os dados por classes de amplitude mi/h cada. A partir disso temos de estimar o desvio-padrão usando os pontos médios das classes e as frequências.
Informações dadas (classe de velocidade e frequência):\n
Nada mais é fornecido; a tabela resume os dados por classes de amplitude
Passo 2
Qual método usar e fórmulas: explicação didática\n
Quando temos dados agrupados em classes, a maneira prática de estimar média e desvio-padrão é usar o ponto médio de cada classe como representante dos valores nessa classe.\n
Definições e notação que usaremos:\n
= ponto médio da
-ésima classe (velocidade típica dessa classe),\n
= frequência da
-ésima classe,\n
= total de observações,\n
= média (estimada) dos dados agrupados,\n
= variância populacional estimada (usada quando os dados na tabela representam a população completa de observações),\n
= desvio-padrão populacional estimado.\n
Breve comentário sobre população vs. amostra: se a tabela lista todas as observações que queremos (os valores são o conjunto completo), usamos divisão por
. Se esses
fossem uma amostra de uma população maior e quiséssemos estimar a variabilidade da população a partir da amostra, usaríamos divisão por
. Aqui vamos usar a fórmula com divisão por
porque o enunciado pede o desvio-padrão dos dados apresentados (interpretação usual: trabalhar com aquele conjunto de
observações).
Quando temos dados agrupados em classes, a maneira prática de estimar média e desvio-padrão é usar o ponto médio de cada classe como representante dos valores nessa classe.\n
Definições e notação que usaremos:\n
Breve comentário sobre população vs. amostra: se a tabela lista todas as observações que queremos (os
Passo 3
Calcular os pontos médios
das classes (vou mostrar o cálculo de cada um):\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
(Explicação curta: o ponto médio é a média aritmética dos limites da classe; ele representa, de forma simples, os valores daquela classe.)
(Explicação curta: o ponto médio é a média aritmética dos limites da classe; ele representa, de forma simples, os valores daquela classe.)
Passo 4
Calcular o total
e a soma ponderada
para obter a média.\n
Somando as frequências:\n
.\n
Agora computamos cada produto :\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
Somando tudo:\n
.\n
Média estimada:\n
Somando as frequências:\n
Agora computamos cada produto
Somando tudo:\n
Média estimada:\n
(Interpretação: a velocidade média estimada é
mi/h.)
Passo 5
Calcular as diferenças
, os quadrados
e os termos
.\n
Para cada classe:\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
Agora somamos os termos ponderados:\n
Para cada classe:\n
Agora somamos os termos ponderados:\n
Passo 6
Calcular variância e desvio-padrão (fórmula populacional, divisão por
).\n
Variância estimada:\n
Variância estimada:\n
Desvio-padrão:\n
Interpretação: a dispersão típica (desvio-padrão) das velocidades é aproximadamente
mi/h. (Se alguém pedisse o desvio-padrão amostral, usaríamos
e obteríamos um valor ligeiramente maior; aqui trabalhamos com o conjunto de
observações.)