Nos Exercícios 13-16, determine o desvio-padrão dos dados resumidos na tabela de frequências.
A tabela de frequências a seguir dá as velocidades desenvolvidas por motoristas multados na cidade de Poughkeepsie em um trecho onde a velocidade máxima é de 30 \mathrm{mi} / \mathrm{h}.
Velocidade Frequência
42-43 14
44-45 11
46-47 8
48-49 6
50-51 4
52-53 3
54-55 1
56-57 2
58-59 0
60-61 1

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o desvio-padrão dos dados resumidos na tabela de frequências.\n
Informações dadas (classe de velocidade e frequência):\n
\,42-43:\;14\n
\,44-45:\;11\n
\,46-47:\;8\n
\,48-49:\;6\n
\,50-51:\;4\n
\,52-53:\;3\n
\,54-55:\;1\n
\,56-57:\;2\n
\,58-59:\;0\n
\,60-61:\;1\n
Nada mais é fornecido; a tabela resume os dados por classes de amplitude 2 mi/h cada. A partir disso temos de estimar o desvio-padrão usando os pontos médios das classes e as frequências.

Passo 2

Qual método usar e fórmulas: explicação didática\n
Quando temos dados agrupados em classes, a maneira prática de estimar média e desvio-padrão é usar o ponto médio de cada classe como representante dos valores nessa classe.\n
Definições e notação que usaremos:\n
\,x_i = ponto médio da i-ésima classe (velocidade típica dessa classe),\n
\,f_i = frequência da i-ésima classe,\n
\,N=\sum_i f_i = total de observações,\n
\,\bar{x}=\dfrac{\sum_i f_i x_i}{N} = média (estimada) dos dados agrupados,\n
\,\sigma^2=\dfrac{\sum_i f_i (x_i-\bar{x})^2}{N} = variância populacional estimada (usada quando os dados na tabela representam a população completa de observações),\n
\,\sigma=\sqrt{\sigma^2} = desvio-padrão populacional estimado.\n
Breve comentário sobre população vs. amostra: se a tabela lista todas as observações que queremos (os N valores são o conjunto completo), usamos divisão por N. Se esses N fossem uma amostra de uma população maior e quiséssemos estimar a variabilidade da população a partir da amostra, usaríamos divisão por N-1. Aqui vamos usar a fórmula com divisão por N porque o enunciado pede o desvio-padrão dos dados apresentados (interpretação usual: trabalhar com aquele conjunto de N observações).

Passo 3

Calcular os pontos médios x_i das classes (vou mostrar o cálculo de cada um):\n
\,x_1=\dfrac{42+43}{2}=42,5\n
\,x_2=\dfrac{44+45}{2}=44,5\n
\,x_3=\dfrac{46+47}{2}=46,5\n
\,x_4=\dfrac{48+49}{2}=48,5\n
\,x_5=\dfrac{50+51}{2}=50,5\n
\,x_6=\dfrac{52+53}{2}=52,5\n
\,x_7=\dfrac{54+55}{2}=54,5\n
\,x_8=\dfrac{56+57}{2}=56,5\n
\,x_9=\dfrac{58+59}{2}=58,5\n
\,x_{10}=\dfrac{60+61}{2}=60,5\n
(Explicação curta: o ponto médio é a média aritmética dos limites da classe; ele representa, de forma simples, os valores daquela classe.)

Passo 4

Calcular o total N e a soma ponderada \sum f_i x_i para obter a média.\n
Somando as frequências:\n
\,N=14+11+8+6+4+3+1+2+0+1=50.\n
Agora computamos cada produto f_i x_i:\n
\,14\cdot42,5=595,0\n
\,11\cdot44,5=489,5\n
\,8\cdot46,5=372,0\n
\,6\cdot48,5=291,0\n
\,4\cdot50,5=202,0\n
\,3\cdot52,5=157,5\n
\,1\cdot54,5=54,5\n
\,2\cdot56,5=113,0\n
\,0\cdot58,5=0,0\n
\,1\cdot60,5=60,5\n
Somando tudo:\n
\,\sum_i f_i x_i=595+489,5+372+291+202+157,5+54,5+113+0+60,5=2335,0.\n
Média estimada:\n
\bar{x}=\dfrac{\sum_i f_i x_i}{N}=\dfrac{2335,0}{50}=46,7.
(Interpretação: a velocidade média estimada é \,46,7 mi/h.)

Passo 5

Calcular as diferenças x_i-\bar{x}, os quadrados (x_i-\bar{x})^2 e os termos f_i (x_i-\bar{x})^2.\n
Para cada classe:\n
\,x_1-\bar{x}=42,5-46,7=-4,2\quad\Rightarrow\quad(-4,2)^2=17,64\quad\Rightarrow\quad14\cdot17,64=246,96\n
\,x_2-\bar{x}=44,5-46,7=-2,2\quad\Rightarrow\quad(-2,2)^2=4,84\quad\Rightarrow\quad11\cdot4,84=53,24\n
\,x_3-\bar{x}=46,5-46,7=-0,2\quad\Rightarrow\quad(-0,2)^2=0,04\quad\Rightarrow\quad8\cdot0,04=0,32\n
\,x_4-\bar{x}=48,5-46,7=1,8\quad\Rightarrow\quad1,8^2=3,24\quad\Rightarrow\quad6\cdot3,24=19,44\n
\,x_5-\bar{x}=50,5-46,7=3,8\quad\Rightarrow\quad3,8^2=14,44\quad\Rightarrow\quad4\cdot14,44=57,76\n
\,x_6-\bar{x}=52,5-46,7=5,8\quad\Rightarrow\quad5,8^2=33,64\quad\Rightarrow\quad3\cdot33,64=100,92\n
\,x_7-\bar{x}=54,5-46,7=7,8\quad\Rightarrow\quad7,8^2=60,84\quad\Rightarrow\quad1\cdot60,84=60,84\n
\,x_8-\bar{x}=56,5-46,7=9,8\quad\Rightarrow\quad9,8^2=96,04\quad\Rightarrow\quad2\cdot96,04=192,08\n
\,x_9-\bar{x}=58,5-46,7=11,8\quad\Rightarrow\quad11,8^2=139,24\quad\Rightarrow\quad0\cdot139,24=0,00\n
\,x_{10}-\bar{x}=60,5-46,7=13,8\quad\Rightarrow\quad13,8^2=190,44\quad\Rightarrow\quad1\cdot190,44=190,44\n
Agora somamos os termos ponderados:\n
\,\sum_i f_i (x_i-\bar{x})^2=246,96+53,24+0,32+19,44+57,76+100,92+60,84+192,08+0,00+190,44=922,00.

Passo 6

Calcular variância e desvio-padrão (fórmula populacional, divisão por N).\n
Variância estimada:\n
\sigma^2=\dfrac{\sum_i f_i (x_i-\bar{x})^2}{N}=\dfrac{922,00}{50}=18,44.\n
Desvio-padrão:\n
\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{18,44}\approx 4,29.\n
Interpretação: a dispersão típica (desvio-padrão) das velocidades é aproximadamente \,4,29 mi/h. (Se alguém pedisse o desvio-padrão amostral, usaríamos \sqrt{922/(50-1)} e obteríamos um valor ligeiramente maior; aqui trabalhamos com o conjunto de 50 observações.)

Resposta

\sigma\approx 4,29\\ \text{mi/h}

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