Nos Exercícios 13-16, determine o desvio-padrão dos dados resumidos na tabela de frequências.
Os visitantes do Parque Nacional de Yellowstone (EUA) consideram uma erupção do gêiser Old Faithful uma atração imperdível.
A tabela de frequências resume os intervalos de tempo (em minutos) entre as erupções.
Tempo Frequência
40-49 8
50-59 44
60-69 23
70-79 6
80-89 107
90-99 11
100-109 1

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com os intervalos de tempo (em minutos) entre erupções do gêiser Old Faithful e pede para determinar o desvio-padrão dos dados. Dados fornecidos (intervalos e frequências):
\begin{array}{c|c} \text{Tempo (min)} & \text{Frequência } f_i\\hline 40-49 & 8\\\\ 50-59 & 44\\\\ 60-69 & 23\\\\ 70-79 & 6\\\\ 80-89 & 107\\\\ 90-99 & 11\\\\ 100-109 & 1 \end{array}ê
As perguntas implícitas que vamos responder: qual é a média aproximada ( \bar{x}) desses dados agrupados e qual é o desvio-padrão amostral s (em minutos)?

Passo 2

Primeiro passo prático: transformar classes em pontos representativos (os pontos médios de cada classe). O ponto médio da classe é a média entre os limites inferior e superior da classe. Para cada classe calculamos x_i como:
x_i = \frac{\text{limite inferior} + \text{limite superior}}{2}.
Calculando:
\begin{aligned} x_1&= \frac{40+49}{2}=44{,}5,\\\ x_2&= \frac{50+59}{2}=54{,}5,\\\ x_3&= \frac{60+69}{2}=64{,}5,\\\ x_4&= \frac{70+79}{2}=74{,}5,\\\ x_5&= \frac{80+89}{2}=84{,}5,\\\ x_6&= \frac{90+99}{2}=94{,}5,\\\ x_7&= \frac{100+109}{2}=104{,}5. \end{aligned}

Passo 3

Agora calculamos o total das frequências n=\sum f_i e a soma ponderada \sum f_i x_i que usaremos para obter a média. Para cada classe calculamos f_i x_i:
\begin{aligned} 8\cdot 44{,}5 &= 356{,}0,\\\\ 44\cdot 54{,}5 &= 2\,398{,}0,\\\\ 23\cdot 64{,}5 &= 1\,483{,}5,\\\\ 6\cdot 74{,}5 &= 447{,}0,\\\\ 107\cdot 84{,}5 &= 9\,041{,}5,\\\\ 11\cdot 94{,}5 &= 1\,039{,}5,\\\\ 1\cdot 104{,}5 &= 104{,}5. \end{aligned}
Somando as frequências e as contribuições:
n=\sum f_i = 200, \qquad \sum f_i x_i = 14\,870{,}0.

Passo 4

A média aproximada dos dados agrupados é dada por
\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{n}.
Aqui \sum f_i x_i é a soma das frequências multiplicadas pelos pontos médios e n é o total de observações. Calculando:
\bar{x}=\frac{14\,870}{200}=74{,}35\\ \text{minutos}.

Passo 5

Agora precisamos do termo \sum f_i x_i^2 para calcular a variância amostral. Primeiro calculamos x_i^2 e depois f_i x_i^2 para cada classe:
\begin{aligned} 44{,}5^2 &= 1\,980{,}25 &\Rightarrow&\quad 8\cdot 1\,980{,}25 = 15\,842{,}0,\\\\ 54{,}5^2 &= 2\,970{,}25 &\Rightarrow&\quad 44\cdot 2\,970{,}25 = 130\,691{,}0,\\\\ 64{,}5^2 &= 4\,160{,}25 &\Rightarrow&\quad 23\cdot 4\,160{,}25 = 95\,685{,}75,\\\\ 74{,}5^2 &= 5\,550{,}25 &\Rightarrow&\quad 6\cdot 5\,550{,}25 = 33\,301{,}5,\\\\ 84{,}5^2 &= 7\,140{,}25 &\Rightarrow&\quad 107\cdot 7\,140{,}25 = 764\,006{,}75,\\\\ 94{,}5^2 &= 8\,930{,}25 &\Rightarrow&\quad 11\cdot 8\,930{,}25 = 98\,232{,}75,\\\\ 104{,}5^2 &= 10\,920{,}25 &\Rightarrow&\quad 1\cdot 10\,920{,}25 = 10\,920{,}25. \end{aligned}
Somando:
\sum f_i x_i^2 = 1\,148\,680{,}0.

Passo 6

Fórmula da variância amostral para dados agrupados (usando n-1 no denominador, que é o procedimento padrão quando os dados representam uma amostra):
s^{2}=\frac{\sum f_i x_i^{2} - n\,\bar{x}^{2}}{n-1}.
Aqui s^{2} é a variância amostral, \sum f_i x_i^{2} já calculado, n é o total de observações e \bar{x} é a média amostral. Substituindo os valores:
\bar{x}^{2}=74{,}35^{2}=5\,527{,}9225, \qquad n\bar{x}^{2}=200\cdot 5\,527{,}9225=1\,105\,584{,}5.
Logo o numerador é
\sum f_i x_i^{2}-n\bar{x}^{2}=1\,148\,680{,}0-1\,105\,584{,}5=43\,095{,}5.

Passo 7

Calculamos a variância amostral dividindo pelo n-1:
s^{2}=\frac{43\,095{,}5}{199}\approx 216{,}5603.

Passo 8

O desvio-padrão amostral s é a raiz quadrada da variância:
s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{216{,}5603}\approx 14{,}716\\ \text{minutos}.
Arredondando para duas casas decimais (próximo do usual em relatórios):
s\approx 14{,}72\\ \text{minutos}.
Você pode interpretar isso como: a dispersão típica dos tempos entre erupções, em média, é cerca de 14{,}7 minutos em torno da média 74{,}35 minutos — isto dá uma ideia de quão espalhados estão os tempos.

Resposta

s\approx 14{,}72\\ \text{minutos}

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