Nos Exercícios 13-16, determine o desvio-padrão dos dados resumidos na tabela de frequências.
Os visitantes do Parque Nacional de Yellowstone (EUA) consideram uma erupção do gêiser Old Faithful uma atração imperdível.
A tabela de frequências resume os intervalos de tempo (em minutos) entre as erupções.
Tempo
Frequência
8
44
23
6
107
11
1
Os visitantes do Parque Nacional de Yellowstone (EUA) consideram uma erupção do gêiser Old Faithful uma atração imperdível.
| Tempo | Frequência |
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8 |
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44 |
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23 |
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6 |
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107 |
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11 |
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1 |
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com os intervalos de tempo (em minutos) entre erupções do gêiser Old Faithful e pede para determinar o desvio-padrão dos dados. Dados fornecidos (intervalos e frequências):
As perguntas implícitas que vamos responder: qual é a média aproximada (
) desses dados agrupados e qual é o desvio-padrão amostral
(em minutos)?
Passo 2
Primeiro passo prático: transformar classes em pontos representativos (os pontos médios de cada classe). O ponto médio da classe é a média entre os limites inferior e superior da classe. Para cada classe calculamos
como:
Calculando:
Passo 3
Agora calculamos o total das frequências
e a soma ponderada
que usaremos para obter a média. Para cada classe calculamos
:
Somando as frequências e as contribuições:
Passo 4
A média aproximada dos dados agrupados é dada por
Aqui
é a soma das frequências multiplicadas pelos pontos médios e
é o total de observações. Calculando:
Passo 5
Agora precisamos do termo
para calcular a variância amostral. Primeiro calculamos
e depois
para cada classe:
Somando:
Passo 6
Fórmula da variância amostral para dados agrupados (usando
no denominador, que é o procedimento padrão quando os dados representam uma amostra):
Aqui
é a variância amostral,
já calculado,
é o total de observações e
é a média amostral. Substituindo os valores:
Logo o numerador é
Passo 7
Calculamos a variância amostral dividindo pelo
:
Passo 8
O desvio-padrão amostral
é a raiz quadrada da variância:
Arredondando para duas casas decimais (próximo do usual em relatórios):
Você pode interpretar isso como: a dispersão típica dos tempos entre erupções, em média, é cerca de
minutos em torno da média
minutos — isto dá uma ideia de quão espalhados estão os tempos.