Para os exercícios 13 a 16, faça a conversão de coordenadas indicada:
Cartesiana para esférica (x, y, z) \Longrightarrow(\rho, \theta, \varphi) :
(c) (0,1, \sqrt{3})

Passo 1

O enunciado pede a conversão de coordenadas cartesianas (x,y,z) para coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi). Vamos usar as fórmulas
\rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},\quad \theta = \tan^{-1}\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr),\quad \varphi = \cos^{-1}\!\Bigl(\frac{z}{\rho}\Bigr),
onde \theta é o ângulo azimutal no plano xy (medido desde o eixo x) e \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z.

Passo 2

Calcular o raio \rho. Para (x,y,z)=(0,1,\sqrt{3}) temos
\rho = \sqrt{0^2 + 1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2.

Passo 3

Determinar o ângulo azimutal \theta. Como x=0 e y=1, estamos no eixo positivo y, logo
\theta = \tan^{-1}\!\Bigl(\frac{1}{0}\Bigr) = \frac{\pi}{2}.

Passo 4

Determinar o ângulo polar \varphi. Usando z=\sqrt{3} e \rho=2,
\varphi = \cos^{-1}\!\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) = \frac{\pi}{6}.

Resposta

(\rho,\theta,\varphi) = \Bigl(2,\;\frac{\pi}{2},\;\frac{\pi}{6}\Bigr).

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