Nos exercícios 131 a 151, encontre os pontos críticos de f(x), classifique em pontos de máximo local ou mínimo local e esboce o gráfico de \mathrm{f}(\mathrm{x}) :
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-x-2}

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-x-2},
classificá-los em máximos ou mínimos locais e esboçar o gráfico.
O conteúdo envolvido é: domínio de funções racionais, derivada pelo quociente, estudo de sinal da derivada e identificação de assíntotas.

Passo 2

Determinar o domínio de f. O denominador não pode ser zero:
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)\neq0
Logo x\neq2 e x\neq-1.
Portanto o domínio é
(-\infty,-1)\,\cup\,(-1,2)\,\cup\,(2,\infty).

Passo 3

Calcular a derivada f'(x) pelo quociente:
f'(x)=\frac{2x\,(x^{2}-x-2)-x^{2}\,(2x-1)}{(x^{2}-x-2)^{2}}.
No numerador:
2x(x^{2}-x-2)-x^{2}(2x-1) =2x^{3}-2x^{2}-4x-2x^{3}+x^{2} =-x^{2}-4x =-x(x+4).
Assim
f'(x)=\frac{-x(x+4)}{(x^{2}-x-2)^{2}}.

Passo 4

Encontrar as raízes do numerador de f', pois o denominador ao quadrado nunca zera no domínio.
-x(x+4)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad x=-4.
Ambos estão no domínio, então são pontos críticos.

Passo 5

Estudar o sinal de f'(x). Como (x^{2}-x-2)^{2}>0, o sinal de f' é o contrário de x(x+4).
  • Para x<-4, x(x+4)>0 \implies f'(x)<0 (função decrescente).
  • Entre -4 e 0, x(x+4)<0 \implies f'(x)>0 (função crescente).
  • Para x>0, x(x+4)>0 \implies f'(x)<0 (função decrescente).
Logo em x=-4 a derivada muda de negativa para positiva \Rightarrow mínimo local.
Em x=0 a derivada muda de positiva para negativa \Rightarrow máximo local.

Passo 6

Calcular os valores de f nos pontos críticos:
f(-4)=\frac{(-4)^{2}}{(-4)^{2}-(-4)-2} =\frac{16}{16+4-2} =\frac{16}{18} =\frac{8}{9},
f(0)=\frac{0^{2}}{0^{2}-0-2} =0.
Portanto os pontos críticos são \bigl(-4,\tfrac{8}{9}\bigr) (mínimo local) e (0,0) (máximo local).

Passo 7

Identificar as assíntotas:
A) Verticais onde o denominador zera:
x=-1 \quad\text{e}\quad x=2.
Em x\to-1^{-}, f(x)\to+\infty; em x\to-1^{+}, f(x)\to-\infty.
Em x\to2^{-}, f(x)\to-\infty; em x\to2^{+}, f(x)\to+\infty.
B) Horizontal pelo grau igual do numerador e denominador:
\lim_{x\to\pm\infty}f(x) =\frac{1}{1}=1,
logo y=1.

Passo 8

Esboço qualitativo do gráfico:
  • Em (-\infty,-4): decrescente de y\approx1 (em -\infty) até y=\tfrac{8}{9} em -4.
  • De -4 a -1: crescente de \tfrac{8}{9} até +\infty (perto de -1^{-}).
  • De -1^{+} a 0: crescente de -\infty até 0.
  • De 0 a 2^{-}: decrescente de 0 até -\infty.
  • De 2^{+} a +\infty: decrescente de +\infty até a assíntota y=1.
Assíntotas verticais: x=-1, x=2. Assíntota horizontal: y=1.
Ponto de mínimo local em \bigl(-4,\tfrac{8}{9}\bigr) e de máximo local em (0,0).

Resposta

Os pontos críticos são
(-4,\tfrac{8}{9})\quad\text{(mínimo local)}, \qquad (0,0)\quad\text{(máximo local)}.íá
Assíntotas verticais: x=-1, x=2.
Assíntota horizontal: y=1.
Gráfico conforme o esboço descrito acima.

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