Nos exercícios 131 a 151, encontre os pontos críticos de
, classifique em pontos de máximo local ou mínimo local e esboce o gráfico de
:
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos de
classificá-los em máximos ou mínimos locais e esboçar o gráfico.
O conteúdo envolvido é: domínio de funções racionais, derivada pelo quociente, estudo de sinal da derivada e identificação de assíntotas.
O conteúdo envolvido é: domínio de funções racionais, derivada pelo quociente, estudo de sinal da derivada e identificação de assíntotas.
Passo 2
Determinar o domínio de
. O denominador não pode ser zero:
Logo
e
.
Portanto o domínio é
Portanto o domínio é
Passo 3
Calcular a derivada
pelo quociente:
No numerador:
Assim
Passo 4
Encontrar as raízes do numerador de
, pois o denominador ao quadrado nunca zera no domínio.
Ambos estão no domínio, então são pontos críticos.
Passo 5
Estudar o sinal de
. Como
, o sinal de
é o contrário de
.
- Para
, (função decrescente). - Entre
e , (função crescente). - Para
, (função decrescente).
Logo em
a derivada muda de negativa para positiva
mínimo local.
Em a derivada muda de positiva para negativa
máximo local.
Em
Passo 6
Calcular os valores de
nos pontos críticos:
Portanto os pontos críticos são
(mínimo local) e
(máximo local).
Passo 7
Identificar as assíntotas:
A) Verticais onde o denominador zera:
A) Verticais onde o denominador zera:
Em
,
; em
,
.
Em ,
; em
,
.
B) Horizontal pelo grau igual do numerador e denominador:
Em
B) Horizontal pelo grau igual do numerador e denominador:
logo
.
Passo 8
Esboço qualitativo do gráfico:
- Em
: decrescente de (em ) até em . - De
a : crescente de até (perto de ). - De
a : crescente de até . - De
a : decrescente de até . - De
a : decrescente de até a assíntota .
Assíntotas verticais:
,
. Assíntota horizontal:
.
Ponto de mínimo local em e de máximo local em
.
Ponto de mínimo local em
Resposta
Os pontos críticos são
Assíntotas verticais:
,
.
Assíntota horizontal: .
Gráfico conforme o esboço descrito acima.
Assíntota horizontal:
Gráfico conforme o esboço descrito acima.