Nos exercícios 131 a 151, encontre os pontos críticos de f(x), classifique em pontos de máximo local ou mínimo local e esboce o gráfico de \mathrm{f}(\mathrm{x}) :
f(x)=2-e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os pontos críticos de
f(x) = 2 - e^{-x},
classificá-los (máximo local ou mínimo local) e esboçar o gráfico de f.
O conteúdo envolvido é cálculo de derivada para achar pontos em que f'(x)=0 ou indefinida, análise de monotonicidade para classificar extremos e estudo de limites para desenhar o esboço.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como \frac{d}{dx}(e^{-x})=-e^{-x}, vem
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2 - e^{-x}\bigr) = -\bigl(-e^{-x}\bigr) = e^{-x}.

Passo 3

Procuramos pontos críticos resolvendo f'(x)=0 ou verificando onde f' é indefinida.
Como
e^{-x}>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},
não existe x tal que f'(x)=0, e f'(x) está definida em todo \mathbb{R}.
Logo, não há pontos críticos.

Passo 4

Para classificar extremos basta analisar o sinal de f'. Como f'(x)=e^{-x}>0 em todo o domínio, f é estritamente crescente em \mathbb{R}.
Isso implica que não há máximos locais nem mínimos locais.

Passo 5

Para esboçar o gráfico de f:
  • Limite em +\infty: \lim_{x\to+\infty}f(x) = 2 - \lim_{x\to+\infty}e^{-x} = 2 - 0 = 2,ou seja, há assíntota horizontal y=2 à direita.
  • Limite em -\infty: \lim_{x\to-\infty}f(x) = 2 - \lim_{x\to-\infty}e^{-x} = 2 - (+\infty) = -\infty,o gráfico cai sem limite para a esquerda.
  • Como f é crescente e suave, basta desenhar uma curva que sobe de -\infty (quando x\to-\infty) e se aproxima de y=2 (quando x\to+\infty).

Resposta

Não há pontos críticos. A função é estritamente crescente em todo \mathbb{R}, logo não possui máximos nem mínimos locais. O gráfico é uma curva que tende a -\infty para x\to-\infty e possui assíntota horizontal y=2 para x\to+\infty.

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