Nos exercícios 131 a 151, encontre os pontos críticos de f(x), classifique em pontos de máximo local ou mínimo local e esboce o gráfico de \mathrm{f}(\mathrm{x}) :
f(x)=x^{5}-5 x^{4}+100

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x) = x^5 - 5x^4 + 100
( 1) encontrar os pontos críticos, ( 2) classificar cada ponto como máximo local ou mínimo local, e ( 3) esboçar qualitativamente o gráfico. Para isso vamos precisar calcular f'(x), resolver f'(x)=0, usar f''(x) ou análise de sinal de f'(x) para classificar e, por fim, olhar o comportamento nos extremos.

Passo 2

Calcular a derivada primeira usando regras de potência:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^5\bigr) \;-\;\frac{d}{dx}\bigl(5x^4\bigr) = 5x^4 - 20x^3.

Passo 3

Resolver f'(x)=0:
5x^4 - 20x^3 = 5x^3(x - 4) = 0
Dessa equação seguem os pontos críticos
x = 0 \quad\text{e}\quad x = 4.

Passo 4

Para classificar, calculemos a derivada segunda:
f''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(5x^4 - 20x^3\bigr) = 20x^3 - 60x^2 = 20x^2(x - 3).

Passo 5

Classificação em x=0:
  • Aqui f''(0)=0, teste inconclusivo.
  • Fazendo análise de sinal de f'(x)=5x^3(x-4):
    • Para x<0: x^3<0 e (x-4)<0 \Rightarrow f'(x)>0.
    • Para 0<x<4: x^3>0 e (x-4)<0 \Rightarrow f'(x)<0.
      Logo f' passa de positivo para negativo em x=0, caracterizando um máximo local.
      O valor é
    f(0)=0^5-5\cdot0^4+100 = 100.

Passo 6

Classificação em x=4:
  • Aqui f''(4)=20\cdot4^2(4-3)=20\cdot16\cdot1=320>0, indicando mínimo local.
  • O valor em x=4 é f(4)=4^5 -5\cdot4^4 +100 = 1024 -1280 +100 = -156.

Passo 7

Esboço qualitativo do gráfico:
  • Como o termo dominante é x^5 com coeficiente positivo, para x\to-\infty temos f(x)\to-\infty e para x\to+\infty temos f(x)\to+\infty.
  • O gráfico cresce até (0,100), atinge o máximo local, decresce até (4,-156), atinge o mínimo local, e depois cresce indefinidamente.

Resposta

Os pontos críticos são
(0,100), que é máximo local,
e
(4,-156), que é mínimo local.

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