Nos exercícios 131 a 151, encontre os pontos críticos de
, classifique em pontos de máximo local ou mínimo local e esboce o gráfico de
:
Passo 1
O enunciado pede para a função
(
) encontrar os pontos críticos, (
) classificar cada ponto como máximo local ou mínimo local, e (
) esboçar qualitativamente o gráfico. Para isso vamos precisar calcular
, resolver
, usar
ou análise de sinal de
para classificar e, por fim, olhar o comportamento nos extremos.
Passo 2
Calcular a derivada primeira usando regras de potência:
Passo 3
Resolver
:
Dessa equação seguem os pontos críticos
Passo 4
Para classificar, calculemos a derivada segunda:
Passo 5
Classificação em
:
- Aqui
, teste inconclusivo. - Fazendo análise de sinal de
: - Para
: e . - Para
: e .
Logopassa de positivo para negativo em , caracterizando um máximo local.
O valor é
- Para
Passo 6
Classificação em
:
- Aqui
, indicando mínimo local. - O valor em
é
Passo 7
Esboço qualitativo do gráfico:
- Como o termo dominante é
com coeficiente positivo, para temos e para temos . - O gráfico cresce até
, atinge o máximo local, decresce até , atinge o mínimo local, e depois cresce indefinidamente.
Resposta
Os pontos críticos são
, que é máximo local,
e
, que é mínimo local.
e