Nos exercícios 131 a 151, encontre os pontos críticos de f(x), classifique em pontos de máximo local ou mínimo local e esboce o gráfico de \mathrm{f}(\mathrm{x}) :
f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-9 x+2

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-9x+2
encontrar os pontos críticos, classificá-los como máximo ou mínimo locais e esboçar o gráfico.
Conteúdo: derivadas, equação f'(x)=0 para achar extremos e teste da segunda derivada.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira:
f'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\Bigl(\tfrac{1}{3}x^{3}-9x+2\Bigr) =x^{2}-9.
Os pontos críticos satisfazem
f'(x)=0\quad\Longrightarrow\quad x^{2}-9=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm3.

Passo 3

Para classificar, usamos a segunda derivada:
f''(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}-9)=2x.
Em x=-3:
f''(-3)=2\cdot(-3)=-6<0
logo é máximo local.
Em x=3:
f''(3)=2\cdot3=6>0
logo é mínimo local.
Calculamos os valores de f nesses pontos:
f(-3)=\tfrac{1}{3}(-3)^{3}-9(-3)+2=-9+27+2=20,
f(3)=\tfrac{1}{3}(3)^{3}-9\cdot3+2=9-27+2=-16.

Passo 4

O gráfico de f é de uma cúbica com coeficiente positivo, portanto:
as x\to -\infty, f(x)\to -\infty;
as x\to +\infty, f(x)\to +\infty.
Ele sobe, atinge um máximo local em (-3,20), desce até um mínimo local em (3,-16) e depois sobe de novo. O ponto de interseção com o eixo y é (0,2).

Resposta

Pontos críticos e classificação:
(-3,20)\text{ é máximo local},\quad (3,-16)\text{ é mínimo local}.éáéí
Esboço: cúbica crescente no infinito, com máximo em (-3,20) e mínimo em (3,-16).

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