Nos exercícios 131 a 151, encontre os pontos críticos de
, classifique em pontos de máximo local ou mínimo local e esboce o gráfico de
:
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos de
classificá-los como máximos ou mínimos locais e fazer um esboço do gráfico. Para isso vamos precisar calcular a derivada
, resolver
para encontrar os pontos críticos, usar o teste de sinal de
para classificar esses pontos e, por fim, estudar o comportamento da função em
(assíntota horizontal) para orientar o esboço.
Passo 2
Vamos calcular
usando a regra do quociente:
No numerador,
logo o numerador fica
Assim,
Passo 3
Os pontos críticos satisfazem
, isto é,
As raízes são
ou seja
e
.
Passo 4
Para classificar, analisamos o sinal de
. Como
sempre, basta olhar o sinal de
que é uma parábola voltada para baixo, com raízes em
e
. Logo:
- Em
, decrescente. - Em
, crescente. - Em
, decrescente.
Portanto em
a derivada muda de negativa para positiva
mínimo local; em
muda de positiva para negativa
máximo local.
Passo 5
Calculamos os valores de
nesses pontos:
Logo o mínimo local é
e o máximo local é
.
Passo 6
Para esboçar o gráfico, estudamos o comportamento em
.
Há, portanto, assíntota horizontal
. Também
dá o ponto de intercepto no eixo
.
Passo 7
Resumo do esboço:
- Decrescente em
, mínimo em . - Crescente em
, passa por , chega ao máximo em . - Decrescente em
, aproximando-se de (assíntota horizontal).
Resposta
Pontos críticos e classificação:
O gráfico decresce até
, cresce até
e depois decresce novamente, com assíntota horizontal
.