Nos exercícios 131 a 151, encontre os pontos críticos de f(x), classifique em pontos de máximo local ou mínimo local e esboce o gráfico de \mathrm{f}(\mathrm{x}) :
f(x)=\frac{3 x^{2}+4 x}{1+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de
f(x)=\frac{3x^{2}+4x}{1+x^{2}},
classificá-los como máximos ou mínimos locais e fazer um esboço do gráfico. Para isso vamos precisar calcular a derivada f'(x), resolver f'(x)=0 para encontrar os pontos críticos, usar o teste de sinal de f'(x) para classificar esses pontos e, por fim, estudar o comportamento da função em \pm\infty (assíntota horizontal) para orientar o esboço.

Passo 2

Vamos calcular f'(x) usando a regra do quociente:
f'(x) =\frac{(6x+4)(1+x^{2})-(3x^{2}+4x)\cdot2x}{(1+x^{2})^{2}}.
No numerador,
(6x+4)(1+x^{2})=6x+4+6x^{3}+4x^{2},
(3x^{2}+4x)\cdot2x=6x^{3}+8x^{2},
logo o numerador fica
6x+4+6x^{3}+4x^{2}-6x^{3}-8x^{2} =-4x^{2}+6x+4.
Assim,
f'(x)=\frac{-4x^{2}+6x+4}{(1+x^{2})^{2}}.

Passo 3

Os pontos críticos satisfazem f'(x)=0, isto é,
-4x^{2}+6x+4=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 4x^{2}-6x-4=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x^{2}-3x-2=0.
As raízes são
x=\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{4}=\frac{3\pm5}{4},
ou seja x=-\tfrac12 e x=2.

Passo 4

Para classificar, analisamos o sinal de f'(x). Como (1+x^{2})^{2}>0 sempre, basta olhar o sinal de
N(x)=-4x^{2}+6x+4,
que é uma parábola voltada para baixo, com raízes em -\tfrac12 e 2. Logo:
  • Em (-\infty,-\tfrac12), N(x)<0 \to f'(x)<0 \to f decrescente.
  • Em (-\tfrac12,2), N(x)>0 \to f'(x)>0 \to f crescente.
  • Em (2,\infty), N(x)<0 \to f'(x)<0 \to f decrescente.
Portanto em x=-\tfrac12 a derivada muda de negativa para positiva \to mínimo local; em x=2 muda de positiva para negativa \to máximo local.

Passo 5

Calculamos os valores de f nesses pontos:
f\bigl(-\tfrac12\bigr) =\frac{3\,(1/4)+4(-1/2)}{1+1/4} =\frac{\tfrac34-2}{\tfrac54} =\frac{-\tfrac54}{\tfrac54}=-1,
f(2)=\frac{3\cdot4+4\cdot2}{1+4} =\frac{12+8}{5}=\frac{20}{5}=4.
Logo o mínimo local é \bigl(-\tfrac12,-1\bigr) e o máximo local é (2,4).

Passo 6

Para esboçar o gráfico, estudamos o comportamento em \pm\infty.
\lim_{x\to\pm\infty}f(x) =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{3x^{2}+4x}{1+x^{2}} =3.
Há, portanto, assíntota horizontal y=3. Também f(0)=0 dá o ponto de intercepto no eixo y.

Passo 7

Resumo do esboço:
  • Decrescente em (-\infty,-\tfrac12), mínimo em \bigl(-\tfrac12,-1\bigr).
  • Crescente em (-\tfrac12,2), passa por (0,0), chega ao máximo em (2,4).
  • Decrescente em (2,\infty), aproximando-se de y=3 (assíntota horizontal).

Resposta

Pontos críticos e classificação:
\begin{cases} \text{Mínimo local em }x=-\tfrac12,\quad f\bigl(-\tfrac12\bigr)=-1,\\\ \text{Máximo local em }x=2,\quad f(2)=4. \end{cases}íá
O gráfico decresce até \bigl(-\tfrac12,-1\bigr), cresce até (2,4) e depois decresce novamente, com assíntota horizontal y=3.

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