Nos Exercícios de 7 a 14, ache a derivada parcial indicada, usando a regra da cadeia.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar as derivadas parciais de $ u $ em relação a $ r $ e $ s $, usando a regra da cadeia. O enunciado nos dá $ u = \cosh\left(\frac{y}{x}\right) $, onde $ x = 3r^{2}s $ e $ y = 6s e^{r} $. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais e entender como $ u $ depende de $ r $ e $ s $ através de $ x $ e $ y $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se $ u $ depende de $ x $ e $ y $, e $ x $ e $ y $ dependem de $ r $ e $ s $, então as derivadas parciais de $ u $ em relação a $ r $ e $ s $ são dadas por:
Isso significa que precisamos encontrar todas essas derivadas parciais individuais primeiro.
Passo 3
Vamos calcular $ \frac{\partial u}{\partial x} $ e $ \frac{\partial u}{\partial y} $. Sabemos que:
A derivada de $ \cosh(z) $ em relação a $ z $ é $ \sinh(z) $. Então, usando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos encontrar $ \frac{\partial x}{\partial r} $ e $ \frac{\partial x}{\partial s} $. Sabemos que:
Derivando em relação a $ r $:
Derivando em relação a $ s $:
Passo 5
Vamos calcular $ \frac{\partial y}{\partial r} $ e $ \frac{\partial y}{\partial s} $. Sabemos que:
Derivando em relação a $ r $:
Derivando em relação a $ s $:
Passo 6
Agora que temos todas as derivadas parciais individuais, vamos usar a regra da cadeia para encontrar $ \frac{\partial u}{\partial r} $ e $ \frac{\partial u}{\partial s} $.
Para $ \frac{\partial u}{\partial r} $:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Para $ \frac{\partial u}{\partial s} $:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais são: