Nos Exercícios de 7 a 14, ache a derivada parcial indicada, usando a regra da cadeia.
u=cosh yx ; x=3 r^2 s ; y=6 s e^r ; partial upartial r ; partial upartial s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar as derivadas parciais de $ u $ em relação a $ r $ e $ s $, usando a regra da cadeia. O enunciado nos dá $ u = \cosh\left(\frac{y}{x}\right) $, onde $ x = 3r^{2}s $ e $ y = 6s e^{r} $. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais e entender como $ u $ depende de $ r $ e $ s $ através de $ x $ e $ y $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se $ u $ depende de $ x $ e $ y $, e $ x $ e $ y $ dependem de $ r $ e $ s $, então as derivadas parciais de $ u $ em relação a $ r $ e $ s $ são dadas por:
u
x
Isso significa que precisamos encontrar todas essas derivadas parciais individuais primeiro.

Passo 3

Vamos calcular $ \frac{\partial u}{\partial x} $ e $ \frac{\partial u}{\partial y} $. Sabemos que:
partial upartial x
A derivada de $ \cosh(z) $ em relação a $ z $ é $ \sinh(z) $. Então, usando a regra da cadeia:
partial upartial y
u = cosh(yx)

Passo 4

Agora, vamos encontrar $ \frac{\partial x}{\partial r} $ e $ \frac{\partial x}{\partial s} $. Sabemos que:
partial xpartial r
Derivando em relação a $ r $:
partial xpartial s
Derivando em relação a $ s $:
x = 3r^2s

Passo 5

Vamos calcular $ \frac{\partial y}{\partial r} $ e $ \frac{\partial y}{\partial s} $. Sabemos que:
partial ypartial r
Derivando em relação a $ r $:
partial ypartial s
Derivando em relação a $ s $:
y = 6s e^r

Passo 6

Agora que temos todas as derivadas parciais individuais, vamos usar a regra da cadeia para encontrar $ \frac{\partial u}{\partial r} $ e $ \frac{\partial u}{\partial s} $.
Para $ \frac{\partial u}{\partial r} $:
partial upartial r
Substituindo os valores que encontramos:
partial upartial s
Simplificando:
partial upartial r
Para $ \frac{\partial u}{\partial s} $:
partial upartial r = partial upartial x cdot partial xpartial r + partial upartial y cdot partial ypartial r
Substituindo os valores:
partial upartial r = (-yx^2 sinh(yx)) cdot (6rs) + (1x sinh(yx)) cdot (6s e^r)
Simplificando:
partial upartial r = -6r s yx^2 sinh(yx) + 6s e^rx sinh(yx)

Resposta

As derivadas parciais são:
partial upartial r = -6r s yx^2 sinh(yx) + 6s e^rx sinh(yx)
partial upartial s = -3r^2 yx^2 sinh(yx) + 6 e^rx sinh(yx)

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