Seja f a função definida por f(x)=raiz4-x^2 para x >= 0. Mostre que f é a sua própria inversa.

Passo 1

Temos a função f definida por f(x)=\sqrt{4-x^{2}} para x\ge0. O conteúdo é função inversa e composição de funções: para mostrar que f é a própria inversa, vamos identificar domínio e imagem de f e depois calcular a composição f(f(x)).

Passo 2

O domínio é dado por x\ge0 e 4-x^{2}\ge0, o que implica 0\le x\le2, logo Dom(f)=[0,2]. Para x em [0,2] temos 4-x^{2} em [0,4], logo \sqrt{4-x^{2}} também varia em [0,2]. Portanto Im(f)=[0,2], e f: [0,2]\to[0,2].

Passo 3

Agora fazemos a composição. Para x em [0,2]:
f(f(x))=raiz4-l(f(x)r)^2=raiz4-l(raiz4-x^2r)^2=raiz4-(4-x^2)=raizx^2=x,
como x\ge0. Assim f\circ f é a identidade em [0,2], o que prova que f^{-1}=f.

Resposta

f é sua própria inversa, pois f(f(x))=x para todo x em [0,2].

Exercícios relacionados