Seja
dada por
. Pede-se:
(a) Determinar
.
(b) Mostrar que
é injetora.
© Verificar se
é sobrejetora.
(a) Determinar
(b) Mostrar que
© Verificar se
Passo 1
O enunciado pede para a função
dada por
ter seu domínio
determinado, mostrar que
é injetora e verificar se
é sobrejetora. Vamos precisar de conceitos de domínio de função racional, injetividade (
) e sobrejetividade (para todo
no contradomínio existe
tal que
).
Passo 2
Para encontrar o domínio
de
, note que só há preocupação com a divisão. Devemos ter o denominador diferente de zero:
Isso dá
. Logo,
Passo 3
Para mostrar que
é injetora, consideramos duas entradas
em
tais que
Fazendo a “regra do produto cruzado”:
Expandindo e cancelando termos iguais, chega-se a
que simplifica para
e finalmente a
. Isso mostra que
não leva valores distintos a um mesmo resultado, logo é injetora.
Passo 4
Para ver se
é sobrejetora em ]1,10], pegamos um
genérico em ]1,10] e resolvemos
Multiplicando e agrupando termos em
:
Para que isso dê um
válido, precisamos de
, ou seja
. Mas
pertence a ]1,10], e para esse
não existe
que resolva a equação. Logo
não atinge
e não é sobrejetora.
Passo 5
Portanto concluímos a)
; b)
é injetora; c)
não é sobrejetora em ]1,10], pois falta o valor
no seu conjunto imagem.
Resposta
a)
. b)
é injetora. c)
não é sobrejetora, pois
não tem pré-imagem.