Seja f: A ] 1,10] dada por f(x)=4-11 x4-2 x. Pede-se:
(a) Determinar A.
(b) Mostrar que f é injetora.
© Verificar se f é sobrejetora.

Passo 1

O enunciado pede para a função f: A to ]1,10] dada por
f(x)=4-11x4-2x
ter seu domínio A determinado, mostrar que f é injetora e verificar se f é sobrejetora. Vamos precisar de conceitos de domínio de função racional, injetividade ( f(x1)=f(x2)Rightarrow x1=x2) e sobrejetividade (para todo y no contradomínio existe x tal que f(x)=y).

Passo 2

Para encontrar o domínio A de f(x)=tfrac4-11x4-2x, note que só há preocupação com a divisão. Devemos ter o denominador diferente de zero:
4-2xneq0
Isso dá 2xneq4Rightarrow xneq2. Logo,
A=Rsetminus2

Passo 3

Para mostrar que f é injetora, consideramos duas entradas x1,x2 em A tais que
4-11x14-2x1=4-11x24-2x2
Fazendo a “regra do produto cruzado”:
(4-11x1)(4-2x2)=(4-11x2)(4-2x1)
Expandindo e cancelando termos iguais, chega-se a
-44x1+22x1x2+16-8x2=-44x2+22x1x2+16-8x1
que simplifica para -44x1-8x2=-44x2-8x1 e finalmente a x1=x2. Isso mostra que f não leva valores distintos a um mesmo resultado, logo é injetora.

Passo 4

Para ver se f é sobrejetora em ]1,10], pegamos um y genérico em ]1,10] e resolvemos
4-11x4-2x=y
Multiplicando e agrupando termos em x:
4-11x=4y-2yx
-11x+2yx=4y-4
x(2y-11)=4(y-1)
x=4(y-1)2y-11
Para que isso dê um x válido, precisamos de 2y-11neq0, ou seja yneqtfrac112. Mas tfrac112=5,5 pertence a ]1,10], e para esse y não existe x que resolva a equação. Logo f não atinge y=5,5 e não é sobrejetora.

Passo 5

Portanto concluímos a) A=Rsetminus2; b) f é injetora; c) f não é sobrejetora em ]1,10], pois falta o valor 5,5 no seu conjunto imagem.

Resposta

a) A=Rsetminus2. b) f é injetora. c) f não é sobrejetora, pois y=5,5 não tem pré-imagem.

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