Nos Exercícios 1 a 14, um subconjunto W do espaço R^n é definido através de uma condição imposta a um vetor arbitrário (x1, x2, ldots, xn). Aplique o Teorema 1 para determinar se W é ou não um subespaço de R^n.
Wé o conjunto de todos os vetores de R^3 tais que x3 =0.

Passo 1

O enunciado define
W = (x1,x2,x3)in R^3mid x3=0
Queremos usar o Teorema 1 (um subconjunto não vazio de um espaço vetorial é subespaço se e somente se é fechado sob adição e multiplicação escalar).

Passo 2

Mostramos que W não é vazio verificando que o vetor zero pertence a W. O vetor zero em R^3 é
0 = (0,0,0),
e seu terceiro componente é 0. Portanto 0in W.

Passo 3

Verificamos o fechamento sob adição. Sejam
u=(u1,u2,0)in W e v=(v1,v2,0)in W.
Então
u+v = (u1+v1,,u2+v2,,0+0) = (u1+v1,,u2+v2,,0),
cujo terceiro componente é 0, logo u+vin W.

Passo 4

Verificamos o fechamento sob multiplicação escalar. Seja alphainR e u=(u1,u2,0)in W. Então
alpha,u = (alpha u1,,alpha u2,,alphacdot 0) = (alpha u1,,alpha u2,,0),
cujo terceiro componente é 0, logo alpha,uin W.

Passo 5

Como W contém o vetor zero e é fechado sob adição e multiplicação escalar, satisfa­zendo o Teorema 1, concluímos que W é subespaço de R^3.

Resposta

W é um subespaço de R^3.

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