Nos Exercícios 1 a 14, um subconjunto
do espaço
é definido através de uma condição imposta a um vetor arbitrário
. Aplique o Teorema 1 para determinar se
é ou não um subespaço de
.
Wé o conjunto de todos os vetores de
tais que
.
Wé o conjunto de todos os vetores de
Passo 1
O enunciado define
Queremos usar o Teorema 1 (um subconjunto não vazio de um espaço vetorial é subespaço se e somente se é fechado sob adição e multiplicação escalar).
Passo 2
Mostramos que
não é vazio verificando que o vetor zero pertence a
. O vetor zero em
é
e seu terceiro componente é
. Portanto
.
Passo 3
Verificamos o fechamento sob adição. Sejam
e
.
Então
Então
cujo terceiro componente é
, logo
.
Passo 4
Verificamos o fechamento sob multiplicação escalar. Seja
e
. Então
cujo terceiro componente é
, logo
.
Passo 5
Como
contém o vetor zero e é fechado sob adição e multiplicação escalar, satisfazendo o Teorema 1, concluímos que
é subespaço de
.