Seja V o espaço vetorial das matrizes reais 2 times 2 triangulares inferiores. Sejam beta=[ll1 & 0 0 & 0],[ll0 & 1 0 & 0],[ll0 & 0 0 & 1] e beta1=[ll1 & 0 0 & 0],[ll1 & 1 0 & 0],[ll1 & 1 0 & 1] duas bases ordenadas de V. Ache [I]beta^beta1.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V das matrizes reais 2times2 triangulares inferiores e duas bases ordenadas
beta=v1,v2,v3 com
v1=1&00&0, v2=0&10&0, v3=0&00&1,
e
beta1=w1,w2,w3 com
w1=1&00&0, w2=1&10&0, w3=1&10&1
Pede-se a matriz de mudança de base de Icolon Vto V que leva coordenadas em beta para coordenadas em beta1, ou seja, [I]beta^beta1.

Passo 2

Para obter [I]beta^beta1, basta escrever cada vetor vi da base beta como combinação linear dos vetores w1,w2,w3. As coordenadas dessa combinação formam a i-ésima coluna de [I]beta^beta1.

Passo 3

Para
v1=1&00&0,
vemos que já é exatamente w1. Logo
v1 = 1cdot w1 + 0cdot w2 + 0cdot w3,
e suas coordenadas em beta1 são (1,0,0).

Passo 4

Para
v2=0&10&0,
procuramos a,b,c tais que
a,w1 + b,w2 + c,w3 = 0&10&0
Como
a,w1 + b,w2 + c,w3 = a+b+c & b+c 0 & c,
temos o sistema
a+b+c=0, b+c=1, c=0
Daí c=0, b=1, a=-1. As coordenadas de v2 em beta1 são (-1,1,0).

Passo 5

Para
v3=0&00&1,
fazemos o mesmo:
a,w1 + b,w2 + c,w3 = a+b+c & b+c 0 & c = 0&00&1,
o que gera
a+b+c=0, b+c=0, c=1
Logo c=1, b=-1, a=0. Assim as coordenadas de v3 em beta1 são (0,-1,1).

Resposta

[I]beta^beta1 = 1 & -1 & 0 [6pt] 0 & 1 & -1 [6pt] 0 & 0 & 1 ]

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