Nos Exercícios de 15 a 18, ache a derivada total d ud t por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de x, y e z antes da diferenciação.
u=ln x y+y^2 ; x=e^t ; y=e^-t

Passo 1

Nesse exercício a gente quer a derivada total tfracdudt de u(x,y)=ln(xy)+y^2 sabendo que x=e^t e y=e^-t. O conteúdo principal é função composta e regra da cadeia, então vamos precisar das derivadas parciais de u e das derivadas de x(t) e y(t).

Passo 2

Usando a regra da cadeia: first, escrevemos
dudt=partial upartial xcdotdxdt+partial upartial ycdotdydt
Calculamos as parciais de u:
partial upartial x=partialpartial xln(xy)=1xycdot y=1x,
partial upartial y=partialpartial yln(xy)+partialpartial y(y^2)=1xycdot x+2y=1y+2y
E as derivadas de x e y:
dxdt=e^t, $$
\frac{dy}{dt}=-e^{-t}.
dydt=-e^-t
\frac{du}{dt}=\frac{1}{x}et+\Bigl(\frac{1}{y}+2y\Bigr)(-e{-t}).
dudt=1xe^t+l(1y+2yr)(-e^-t)
1+\bigl(et+2e{-t}\bigr)(-e{-t})=1-\bigl(1+2e{-2t}\bigr)=-2e^{-2t}.
$$

Passo 3

Método das substituições antes de derivar: escrevemos primeiro
u(t)=lnl(e^tcdot e^-tr)+(e^-t)^2=ln(1)+e^-2t=e^-2t
Agora derivamos em função de t:
dudt=-2e^-2t

Passo 4

Viu que os dois métodos deram exatamente a mesma coisa? Fica claro que tfracdudt=-2e^-2t.

Resposta

-2e^-2t

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