Nos Exercícios de 15 a 18, ache a derivada total
por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de
e
antes da diferenciação.
Passo 1
Nesse exercício a gente quer a derivada total
de
sabendo que
e
. O conteúdo principal é função composta e regra da cadeia, então vamos precisar das derivadas parciais de
e das derivadas de
e
.
Passo 2
Usando a regra da cadeia: first, escrevemos
Calculamos as parciais de
:
E as derivadas de
e
:
\frac{dy}{dt}=-e^{-t}.
\frac{du}{dt}=\frac{1}{x}et+\Bigl(\frac{1}{y}+2y\Bigr)(-e{-t}).
1+\bigl(et+2e{-t}\bigr)(-e{-t})=1-\bigl(1+2e{-2t}\bigr)=-2e^{-2t}.
$$
Passo 3
Método das substituições antes de derivar: escrevemos primeiro
Agora derivamos em função de
:
Passo 4
Viu que os dois métodos deram exatamente a mesma coisa? Fica claro que
.