Seja f: A ]-4,1] dada por f(x)=10+3 x10-2 x. Pede-se:
(a) Determinar A.
(b) Mostrar que f é injetora.
© Verificar se f é sobrejetora.

Passo 1

O enunciado nos dá a função racional f(x)=10+3x10-2x cujo contradomínio é o intervalo aberto- fechado ]-4,1]. Precisamos (a) achar o conjunto de definição A, (b) provar que f é injetora e © checar se ela é sobrejetora.

Passo 2

Primeiro notamos que o denominador não pode ser zero, logo já excluímos x=5. Além disso, como queremos que -4, montamos as desigualdades
10+3x10-2x<=1
e
10+3x10-2x>-4
E vamos resolver cada uma delas separando os casos 10-2x>0 (isto é, x<5) e 10-2x<0 (isto é, x>5).

Passo 3

Resolvendo as duas desigualdades:
  1. Para x<5 (denom positivo) a condição f(x)<=1 x<=0. Para x>5 (denom negativo) ela é sempre satisfeita.
  2. Para x<5 a condição f(x)>-4 vale para todo x<5. Para x>5 vale somente para x>10.
    Combinando tudo (e lembrando que já excluímos x=5), vemos que f(x) está em ]-4,1] exatamente quando
xin(-infty,0]cup(10,infty)
Portanto A=(-infty,0]cup(10,infty).

Passo 4

Para provar injetividade, calculamos a derivada:
f'(x)=50(10-2x)^2>0para todo xneq5
Como f' é estritamente positiva, f é estritamente crescente em cada componente de A, logo não pode assumir o mesmo valor duas vezes. Assim, f é injetora.

Passo 5

Para verificar sobrejetividade, analisamos a imagem de f:
  • Em (10,infty), f(x) varia de -4 (não atingido) até -tfrac32 (também não atingido).
  • Em f(x), -tfrac32 varia de 1 (não atingido) até x=0 (atingido em f).
    Logo a imagem de -tfrac32 é
    (-4,-\tfrac32)\cup(-\tfrac32,1], não incluindo -tfrac32.
    Como ]-4,1] está em f mas não é atingido, não é sobrejetora.

Resposta

(a) A=(-infty,0]cup(10,infty). (b) f é injetora. © f não é sobrejetora, pois não atinge -tfrac32.

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