Seja
dada por
. Pede-se:
(a) Determinar
.
(b) Mostrar que
é injetora.
© Verificar se
é sobrejetora.
(a) Determinar
(b) Mostrar que
© Verificar se
Passo 1
O enunciado nos dá a função racional
cujo contradomínio é o intervalo aberto- fechado
. Precisamos (a) achar o conjunto de definição
, (b) provar que
é injetora e © checar se ela é sobrejetora.
Passo 2
Primeiro notamos que o denominador não pode ser zero, logo já excluímos
. Além disso, como queremos que
, montamos as desigualdades
e
E vamos resolver cada uma delas separando os casos
(isto é,
) e
(isto é,
).
Passo 3
Resolvendo as duas desigualdades:
- Para
(denom positivo) a condição dá . Para (denom negativo) ela é sempre satisfeita. - Para
a condição vale para todo . Para vale somente para .
Combinando tudo (e lembrando que já excluímos), vemos que está em exatamente quando
Portanto
.
Passo 4
Para provar injetividade, calculamos a derivada:
Como
é estritamente positiva,
é estritamente crescente em cada componente de
, logo não pode assumir o mesmo valor duas vezes. Assim,
é injetora.
Passo 5
Para verificar sobrejetividade, analisamos a imagem de
:
- Em
, varia de (não atingido) até (também não atingido). - Em
, varia de (não atingido) até (atingido em ).
Logo a imagem deé
(-4,-\tfrac32)\cup(-\tfrac32,1], não incluindo.
Comoestá em mas não é atingido, não é sobrejetora.
Resposta
(a)
. (b)
é injetora. ©
não é sobrejetora, pois não atinge
.