Nos Exercícios de 15 a 22, ache o raio de curvatura num ponto genérico da curva.
y=\operatorname{sen}^{-1} x

Passo 1

O enunciado pede o raio de curvatura de y=\operatorname{sen}^{-1}x num ponto genérico (x,y). Para curvas da forma y=f(x), usamos a fórmula do raio de curvatura
\rho=\frac{\bigl[1+(y')^2\bigr]^{3/2}}{\lvert y''\rvert}.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada de y. Como \frac{d}{dx}(\operatorname{sen}^{-1}x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, temos
y'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Passo 3

Agora derivamos novamente para obter y''. Usando derivação de (1-x^2)^{-1/2},
y''=\frac{d}{dx}\Bigl[(1-x^2)^{-1/2}\Bigr] =\,-\tfrac12(1-x^2)^{-3/2}\cdot(-2x) =\frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}.

Passo 4

Substituímos y' e y'' na fórmula de \rho:
1+(y')^2 =1+\frac{1}{1-x^2} =\frac{2-x^2}{1-x^2} \quad\Longrightarrow\quad \bigl[1+(y')^2\bigr]^{3/2} =\frac{(2-x^2)^{3/2}}{(1-x^2)^{3/2}},
e
\lvert y''\rvert =\frac{\lvert x\rvert}{(1-x^2)^{3/2}}.
Logo,
\rho =\frac{\displaystyle\frac{(2-x^2)^{3/2}}{(1-x^2)^{3/2}}} {\displaystyle\frac{\lvert x\rvert}{(1-x^2)^{3/2}}} =\frac{(2-x^2)^{3/2}}{\lvert x\rvert}.

Resposta

\displaystyle \rho(x)=\frac{(2-x^2)^{3/2}}{\lvert x\rvert}.

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