Nos Exercícios de 15 a 22, ache o raio de curvatura num ponto genérico da curva.
A ciclóide x=a(t-\operatorname{sen} t), y=a(1-\cos t)

Passo 1

O enunciado pede o raio de curvatura num ponto genérico da ciclóide
x = a\bigl(t - \operatorname{sen} t\bigr),\quad y = a\bigl(1 - \cos t\bigr).
O conteúdo é cálculo do raio de curvatura de uma curva dada por parametrização (x(t),y(t)). Vamos usar a fórmula em parâmetro t.

Passo 2

A fórmula para o raio de curvatura \rho de uma curva parametrizada é
\rho = \frac{\bigl[(x')^{2} + (y')^{2}\bigr]^{3/2}}{\bigl|\,x' y'' - y' x''\bigr|}.

Passo 3

Calculamos as derivadas primeiras e segundas:
x' = a\bigl(1 - \cos t\bigr),\quad y' = a\,\operatorname{sen} t,
x'' = a\,\operatorname{sen} t,\quad y'' = a\cos t.

Passo 4

Agora (x')^{2} + (y')^{2}:
(x')^{2} + (y')^{2} = a^{2}\bigl(1 - \cos t\bigr)^{2} + a^{2}\operatorname{sen}^{2}t = a^{2}\bigl[1 - 2\cos t + \cos^{2}t + \operatorname{sen}^{2}t\bigr] = 2a^{2}\bigl(1 - \cos t\bigr).
Usando 1-\cos t=2\operatorname{sen}^{2}\!\tfrac t2, fica
(x')^{2} + (y')^{2} = 4a^{2}\operatorname{sen}^{2}\!\tfrac t2.

Passo 5

O determinante x'y'' - y'x'' é
x'y'' - y'x'' = a\bigl(1 - \cos t\bigr)\cdot a\cos t \;-\; a\operatorname{sen} t\cdot a\operatorname{sen} t = a^{2}\bigl[\cos t(1-\cos t)-\operatorname{sen}^{2}t\bigr] = a^{2}(\cos t-1) = -\,2a^{2}\operatorname{sen}^{2}\!\tfrac t2.
O valor absoluto é \bigl|x'y''-y'x''\bigr|=2a^{2}\operatorname{sen}^{2}\!\tfrac t2.

Passo 6

Substituindo na fórmula de \rho:
\rho = \frac{\bigl(4a^{2}\operatorname{sen}^{2}\tfrac t2\bigr)^{3/2}}{2a^{2}\operatorname{sen}^{2}\tfrac t2} = \frac{8a^{3}\bigl|\operatorname{sen}^{3}\tfrac t2\bigr|}{2a^{2}\operatorname{sen}^{2}\tfrac t2} =4a\,\bigl|\operatorname{sen}\tfrac t2\bigr|.
Num ponto genérico toma-se \operatorname{sen}\tfrac t2\ge0 (por exemplo 0<t<2\pi), então
\rho = 4a\,\operatorname{sen}\tfrac t2.

Resposta

\displaystyle \rho = 4a\,\operatorname{sen}\!\frac t2.

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