Nos Exercícios de 15 a 22, ache o raio de curvatura num ponto genérico da curva.
A tratriz x=t-a \operatorname{tgh} \frac{t}{a}, y=a \operatorname{sech} \frac{t}{a}

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
x(t)=t - a\,\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac{t}{a}\bigr), \quad y(t)=a\,\sech\!\bigl(\tfrac{t}{a}\bigr)
e pede o raio de curvatura \rho(t) num ponto genérico. Vamos usar a fórmula de curvatura em parametrização por t.

Passo 2

A curvatura \kappa de uma curva paramétrica \bigl(x(t),y(t)\bigr) é
\kappa(t) =\frac{\bigl|\,x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)\bigr|} {\bigl[\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2\bigr]^{3/2}}
e o raio de curvatura é \rho(t)=1/\kappa(t).

Passo 3

Calculamos as primeiras derivadas. Chamando u=t/a, tem-se
x'(t) =1 - a\cdot\sech^2(u)\cdot\tfrac1a =1-\sech^2(u) =\operatorname{tanh}^2(u),
y'(t) =a\cdot\bigl(-\sech(u)\operatorname{tanh}(u)\bigr)\cdot\tfrac1a =-\sech(u)\,\operatorname{tanh}(u).

Passo 4

Agora as segundas derivadas:
x''(t) =\frac{d}{dt}\bigl[\operatorname{tanh}^2(u)\bigr] =2\operatorname{tanh}(u)\,\sech^2(u)\,\frac1a =\frac{2}{a}\,\operatorname{tanh}(u)\,\sech^2(u),
y''(t) =\frac{d}{dt}\bigl[-\sech(u)\operatorname{tanh}(u)\bigr] =-\frac1a\,\sech(u)\bigl(2\operatorname{tanh}^2(u)-1\bigr).

Passo 5

Calculamos o determinante no numerador:
x'y''-y'x'' =\operatorname{tanh}^2(u)\,\Bigl[-\tfrac1a\sech(u)(2\operatorname{tanh}^2(u)-1)\Bigr] -\bigl[-\sech(u)\operatorname{tanh}(u)\bigr]\, \frac{2}{a}\,\operatorname{tanh}(u)\sech^2(u).
Fatorando e simplificando aparece
x'y''-y'x'' =\frac{1}{a}\,\operatorname{tanh}^2(u)\,\sech(u).

Passo 6

O denominador é
\bigl(x'\bigr)^2+\bigl(y'\bigr)^2 =\operatorname{tanh}^4(u)+\sech^2(u)\operatorname{tanh}^2(u) =\operatorname{tanh}^2(u)\bigl[\operatorname{tanh}^2(u)+\sech^2(u)\bigr] =\operatorname{tanh}^2(u),
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\bigl[(x')^2+(y')^2\bigr]^{3/2} =\bigl[\operatorname{tanh}^2(u)\bigr]^{3/2} =\operatorname{tanh}^3(u).

Passo 7

Assim a curvatura é
\kappa(t) =\frac{\frac1a\,\operatorname{tanh}^2(u)\,\sech(u)}{\operatorname{tanh}^3(u)} =\frac{1}{a}\,\frac{\sech(u)}{\operatorname{tanh}(u)} =\frac{1}{a\,\operatorname{sinh}(u)},
e o raio de curvatura fica
\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)} =a\,\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{t}{a}\bigr).

Resposta

\rho(t)=a\,\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{t}{a}\bigr).

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