Nos Exercícios 1-16, encontre uma parametrização da superfície. (Existem várias maneiras corretas de fazer isso, de forma que suas respostas podem não ser as mesmas que constam no final do livro.)
3. Tronco de cone A porção no primeiro octante do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} / 2 entre os planos z=0 e z=3.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da parte do cone
z = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{2}
no primeiro octante x\ge0, y\ge0, z\ge0 e entre os planos z=0 e z=3. O conteúdo é parametrização de superfícies, e vamos usar coordenadas cilíndricas para descrever esse tronco de cone.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos \sqrt{x^2+y^2}=r e a equação do cone vira z = \tfrac{r}{2}, ou seja r=2z. Podemos então escolher como parâmetros
u = z,\quad v = \theta,
onde u varia de 0 a 3 (de z=0 a z=3) e v varia de 0 a \tfrac{\pi}{2} (primeiro octante). Substituindo r=2u em x=r\cos v, y=r\sin v, z=u, obtemos a parametrização.

Resposta

\mathbf{r}(u,v) = \bigl(2u\cos v,\;2u\sin v,\;u\bigr),
com domínio
0 \le u \le 3,\qquad 0 \le v \le \frac{\pi}{2}.

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