Nos Exercícios 17-26, utilize uma parametrização para expressar a área da superfície como uma integral dupla. Em seguida, calcule a integral. (Existem muitas maneiras corretas de montar as integrais, de forma que suas integrais podem não ser as mesmas do final do livro. Contudo, elas devem ter os mesmos valores.)
19. Tronco de cone A porção do cone z=2 \sqrt{x^{2}+y^{2}} entre os planos z=2 e z=6.

Passo 1

O enunciado nos pede a área da superfície da porção do cone
z = 2\sqrt{x^2+y^2}
entre os planos z=2 e z=6.
O conteúdo aqui é cálculo de área de superfície via parametrização e aplicação de \displaystyle A=\iint_D\bigl\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\bigr\|\,du\,dv.

Passo 2

Escolhemos coordenadas cilíndricas na superfície: seja
\mathbf r(r,\theta)=\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;2r\bigr),
onde z=2r reprime a equação do cone. Os limites vêm de z=2 (ou seja r=1) até z=6 r=3, e \theta varia de 0 a 2\pi.

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes:
\mathbf r_r=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;2), \qquad \mathbf r_\theta=(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0).
O produto vetorial é
\mathbf r_r\times\mathbf r_\theta =(-2r\cos\theta,\;-2r\sin\theta,\;r),
cuja norma vale
\bigl\|\mathbf r_r\times\mathbf r_\theta\bigr\| =\sqrt{4r^2+ r^2} =\sqrt{5}\,r.

Passo 4

A área é
A =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=1}^{3}\sqrt{5}\,r\;dr\,d\theta =\sqrt{5}\,\Bigl(\int_{0}^{2\pi}d\theta\Bigr)\,\Bigl(\int_{1}^{3}r\,dr\Bigr).
Fazendo as integrais:
\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi, \qquad \int_{1}^{3}r\,dr=\frac{r^2}{2}\Big|_{1}^{3}=\frac{9-1}{2}=4.
Logo
A=\sqrt{5}\times2\pi\times4=8\sqrt{5}\,\pi.

Resposta

8\sqrt{5}\,\pi

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