Nos Exercícios 1-16, encontre uma parametrização da superfície. (Existem várias maneiras corretas de fazer isso, de forma que suas respostas podem não ser as mesmas que constam no final do livro.)
5. Calota esférica A calota cortada da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da calota da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=9
que fica acima do cone
z = \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Como se trata de uma superfície esférica, vamos usar coordenadas esféricas, em que a esfera de raio 3 corresponde a \rho=3.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos as relações
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi
e, na nossa superfície, \rho=3. Logo, a parametrização geral seria
\mathbf r(\varphi,\theta) = \bigl(3\sin\varphi\cos\theta,\;3\sin\varphi\sin\theta,\;3\cos\varphi\bigr).

Passo 3

Agora impomos a condição do cone:
z \ge \sqrt{x^{2}+y^{2}} \quad\Longrightarrow\quad 3\cos\varphi \ge 3\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi \ge \sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \tan\varphi \le 1 \quad\Longrightarrow\quad 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{4}.

Passo 4

Como a calota completa tem simetria em torno do eixo z, o ângulo azimutal varia por
0 \le \theta < 2\pi.

Resposta

Uma parametrização conveniente é
\mathbf r(\varphi,\theta) = \bigl(3\sin\varphi\cos\theta,\;3\sin\varphi\sin\theta,\;3\cos\varphi\bigr),
com
0 \le \varphi \le \frac{\pi}{4}, \quad 0 \le \theta < 2\pi.

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