Nos Exercícios 5-16, utilize o teorema da divergência para encontrar o fluxo exterior de
através da fronteira da região
.
9. Parte da esfera
: A região cortada do primeiro octante pela esfera
.
9. Parte da esfera
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
saindo da região
que é a parte no primeiro octante da bola
. Vamos usar o Teorema da Divergência, que diz que o fluxo é
Passo 2
Calculamos a divergência de
:
Passo 3
O fluxo é então
Para aproveitar a simetria, usamos coordenadas esféricas:
com
,
,
.
Passo 4
Substituindo,
Passo 5
Separamos as integrais:
Passo 6
Multiplicando tudo:
Resposta
O fluxo exterior de
através da fronteira de
é
.