1. Encontre a área da porção do paraboloide x=4-y^{2}-z^{2} que está acima do anel 1 \leq y^{2}+z^{2} \leq 4 no plano y z.

Passo 1

O enunciado pede a área da porção do paraboloide
x = 4 - y^{2} - z^{2}
que está sobre o anel no plano yz definido por
1 \le y^{2}+z^{2} \le 4.
O conteúdo é área de superfície de gráfico x=f(y,z), em que
A = \iint_{D} \sqrt{1 + f_{y}^{2} + f_{z}^{2}}\;dA.

Passo 2

Identificamos
f(y,z) = 4 - y^{2} - z^{2},
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f_{y} = -2y, \quad f_{z} = -2z,
e o integrando fica \sqrt{1 + (-2y)^{2} + (-2z)^{2}} = \sqrt{1 + 4(y^{2}+z^{2})}.

Passo 3

Para facilitar, passamos a coordenadas polares no plano yz:
y = r\cos\theta,\quad z = r\sin\theta,
com r\in[1,2] e \theta\in[0,2\pi]. Nesse caso y^{2}+z^{2}=r^{2} e dA = r\,dr\,d\theta. Assim
A = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{1}^{2} \sqrt{1 + 4r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculemos o integral em r:
I = \int_{1}^{2} r\sqrt{1+4r^{2}}\;dr.
Faça u = 1 + 4r^{2}, então du = 8r\,dr e
I = \frac{1}{8}\int_{u(1)=5}^{u(2)=17} u^{1/2}\,du = \frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}\bigl[u^{3/2}\bigr]_{5}^{17} = \frac{17^{3/2} - 5^{3/2}}{12}.

Passo 5

Finalmente, multiplicamos pelo fator angular:
A = \int_{0}^{2\pi} \frac{17^{3/2} - 5^{3/2}}{12}\,d\theta = 2\pi\;\frac{17^{3/2} - 5^{3/2}}{12} = \frac{\pi}{6}\bigl(17^{3/2} - 5^{3/2}\bigr).

Resposta

\displaystyle A = \frac{\pi}{6}\bigl(17^{3/2} - 5^{3/2}\bigr).

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