1. Encontre a área da porção superior do cilindro x^{2}+z^{2}=1 que está entre os planos x= \pm 1 / 2 e y= \pm 1 / 2.

Passo 1

O enunciado pede a área da “metade superior” do cilindro x^{2}+z^{2}=1 (isto é, onde z\ge0), cortada pelas placas verticais x=\pm\frac12 e horizontais y=\pm\frac12. Vamos usar parametrização do cilindro e integrar o elemento de área.

Passo 2

Parametrizamos o cilindro de raio 1 por
\begin{cases} x=\cos\theta,\\\ z=\sin\theta,\\\ y=y, \end{cases}
onde \theta e y são parâmetros. Nesse caso
\mathbf r(\theta,y)=(\cos\theta,\;y,\;\sin\theta).
O elemento de área é dado por
dS = \bigl\|\mathbf r_\theta\times\mathbf r_y\bigr\|\,d\theta\,dy.
Calculando,
\mathbf r_\theta=(-\sin\theta,0,\cos\theta), \quad \mathbf r_y=(0,1,0)
\mathbf r_\theta\times\mathbf r_y=( -\sin\theta,0,\cos\theta)\times(0,1,0) =( -\cos\theta,0,-\sin\theta)
\bigl\|\mathbf r_\theta\times\mathbf r_y\bigr\| =\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}=1,
logo dS=d\theta\,dy.

Passo 3

As restrições em \theta e y são:
  • “Metade superior” z\ge0 implica \theta\in[0,\pi].
  • x=\cos\theta entre -\tfrac12 e +\tfrac12
    \cos\theta\le\tfrac12 e \cos\theta\ge-\tfrac12, ou seja
    \theta\in\bigl[\tfrac{\pi}{3},\tfrac{2\pi}{3}\bigr].
  • y varia de -\tfrac12 até +\tfrac12.

Passo 4

A área procurada é
\iint dS =\int_{y=-\tfrac12}^{\tfrac12}\!\int_{\theta=\tfrac\pi3}^{\tfrac{2\pi}3}1\,d\theta\,dy =\bigl(y\big|_{-\tfrac12}^{\tfrac12}\bigr)\,\bigl(\theta\big|_{\tfrac\pi3}^{\tfrac{2\pi}3}\bigr) =(1)\,\Bigl(\tfrac{2\pi}{3}-\tfrac{\pi}{3}\Bigr) =\tfrac{\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{3}

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