Nos exercícios de 17 a 21 use o Teorema da Divergência para determinar o fluxo de \vec{F} através da superfície S.
\vec{F}=\left(x^{2}+y\right) \vec{i}+z^{2} \vec{j}+\left(e^{y}-z\right) \vec{k}, S é a superfície do sólido retângular limitado pelos planos coordenados e os planos x=3, y=1 e z=1.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec{F}=(x^{2}+y)\,\vec{i}+z^{2}\,\vec{j}+(e^{y}-z)\,\vec{k} através da superfície S que é o contorno do paralelepípedo
0\le x\le3,\quad 0\le y\le1,\quad 0\le z\le1.
Vamos usar o Teorema da Divergência, que diz que o fluxo de \vec{F} através de S é igual a
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S} =\iiint_{V}\bigl(\nabla\cdot\vec{F}\bigr)\,dV.

Passo 2

Calculamos a divergência de \vec{F}:
\nabla\cdot\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y) +\frac{\partial}{\partial y}(z^{2}) +\frac{\partial}{\partial z}(e^{y}-z) =2x + 0 -1 =2x - 1.

Passo 3

O fluxo é então
\iiint_{V}(2x-1)\,dV =\int_{z=0}^{1}\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{3}(2x-1)\,dx\,dy\,dz.

Passo 4

Primeiro integramos em x:
\int_{0}^{3}(2x-1)\,dx =\bigl[x^{2}-x\bigr]_{0}^{3} =9-3=6.

Passo 5

Como o resultado em x é constante em y,z, temos
\int_{z=0}^{1}\int_{y=0}^{1}6\,dy\,dz =6\cdot\bigl(1-0\bigr)\cdot\bigl(1-0\bigr) =6.

Resposta

O fluxo de \vec{F}$ através de \(S é 6.)

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