Nos exercícios de 17 a 21 use o Teorema da Divergência para determinar o fluxo de \vec{F} através da superfície S.
\vec{F}=x y \vec{i}+y z \vec{j}+x z \vec{k}, S é a superfície de cubo limitado pelos planos x=0, x=2, y=0, y=2, z=0 e z=2.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec{F}=xy\,\vec{i}+yz\,\vec{j}+xz\,\vec{k} através da superfície S de um cubo de aresta 2, usando o Teorema da Divergência. Vamos precisar de (1) calcular a divergência de \vec{F} e (2) avaliar a integral tripla dessa divergência sobre o volume V do cubo.

Passo 2

A divergência de \vec{F} é dada por
\nabla\cdot\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}(xy) +\frac{\partial}{\partial y}(yz) +\frac{\partial}{\partial z}(xz) =y+z+x.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo de \vec{F} através de S=\partial V é
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S} =\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{F})\,dV =\iiint_{0\le x,y,z\le2}(x+y+z)\,dx\,dy\,dz.

Passo 4

Separemos a integral em três termos:
\iiint_{V}x\,dV =\Bigl(\int_{0}^{2}x\,dx\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{2}dy\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{2}dz\Bigr) =\bigl[2\bigr]\cdot2\cdot2=8,
\iiint_{V}y\,dV =2\cdot\bigl[\int_{0}^{2}y\,dy\bigr]\cdot2 =2\cdot2\cdot2=8,
\iiint_{V}z\,dV =2\cdot2\cdot\bigl[\int_{0}^{2}z\,dz\bigr] =2\cdot2\cdot2=8.
Somando os três termos, o fluxo é 8+8+8=24.

Resposta

24

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