Para os exercícios 17 a 22, determine f(x) e g(x).

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado pede para a gente encontrar as derivadas de
f(x)=lvert x-4rvert;sin x e g(x)=xx+1
O assunto é Cálculo Diferencial: a gente vai usar
  1. como derivar valor absoluto (transformando em função peça-por-peça),
  2. regra do produto (para ),
  3. regra do quociente (para ).

Passo 2

Derivando u(x)=lvert x-4rvert, v(x)=sin x :
  1. Primeiro, escrevemos f'(x)=1cdotsin x + (x-4)cdotcos x =sin x + (x-4)cos x como peça-por-peça:
    • Se f'(x)=-1cdotsin x + (4-x)cdotcos x =-,sin x + (4-x)cos x , .
    • Se , .
      (Em a derivada não existe porque a função muda de “ramo”.)
  2. Agora aplicamos a regra do produto , onde
Para cada caso:
  • Caso :
    .
    .
    Logo
  • Caso :
    .
    continua igual.
    Logo

Passo 3

Derivando l(tfracuvr)' = u',v - u,v'v^2, pela regra do quociente
g'(x) = 1cdot(x+1) - xcdot1(x+1)^2 = x+1 - x(x+1)^2 = 1(x+1)^2
com e :
  • .
  • .
Logo

Resposta

f’(x) =
sin x + (x-4)cos x, & x>4,[6pt] -,sin x + (4-x)cos x, & x<4,
(não existe em ).
g’(x) =

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