Encontre uma fórmula para a função inversa.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que tá rolando:
O enunciado pede pra gente achar a função inversa de
f(x)=e^2x-1
O conteúdo aqui é “função inversa”, mais especificamente “inversa de função exponencial”.
Pra resolver a gente vai precisar saber duas coisas básicas:
  1. Que pra achar inversa a gente normalmente troca e e resolve pra “ ”.
  2. Que o logaritmo natural ( ) é a operação inversa da exponencial, ou seja .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a troca de variáveis. A gente escreve:
y = e^2x-1
Agora pra achar a inversa, anota aí: trocamos x = e^2y-1 por e por . Fica:
A ideia agora é isolar esse “ ”.

Passo 3

Pra isolar ln(x) = lnl(e^2y-1r) , vamos usar logaritmo natural dos dois lados. Lembra que ln(x) = 2y - 1 desfaz o . Então:
Pela propriedade , dá:

Passo 4

Só falta resolver isso pra ln(x) + 1 = 2y . Somamos 1 nos dois lados:
y = ln(x) + 12
E dividimos por 2:
Pronto, esse é a nossa função inversa, só trocar o nome de volta.

Resposta

f^-1(x) = ln(x) + 12

Exercícios relacionados