Nos exercícios 19-22, determine os valores das derivadas.
\left.\frac{d s}{d t}\right|_{t=-1} se s=1-3 t^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função s em função de t:
s(t)=1-3t^{2}.
Pede-se o valor da derivada de s em relação a t no ponto t=-1, ou seja:
\left.\frac{ds}{dt}\right|_{t=-1}.

Passo 2

Primeiro, o que é derivada aqui? A derivada \dfrac{ds}{dt} em um ponto t é a taxa de variação instantânea de s em relação a t. Uma definição precisa é a definição por limite:
\frac{ds}{dt}(t)=\lim_{h\to0}\frac{s(t+h)-s(t)}{h}.
Nesse limite, h representa um pequeno incremento em t. Se esse limite existir, ele é a derivada no ponto t.

Passo 3

Vamos aplicar a definição por limite. Primeiro calculo s(t+h). Substituindo t+h em s:
s(t+h)=1-3(t+h)^{2}.
Agora expandir (t+h)^{2}:
(t+h)^{2}=t^{2}+2th+h^{2}.
Portanto
s(t+h)=1-3\bigl(t^{2}+2th+h^{2}\bigr)=1-3t^{2}-6th-3h^{2}.

Passo 4

Calculo a diferença s(t+h)-s(t):
s(t+h)-s(t)=\bigl(1-3t^{2}-6th-3h^{2}\bigr)-\bigl(1-3t^{2}\bigr)=-6th-3h^{2}.
Agora a diferença dividida por h:
\frac{s(t+h)-s(t)}{h}=\frac{-6th-3h^{2}}{h}=-6t-3h.
Tomando o limite quando h\to0:
\frac{ds}{dt}(t)=\lim_{h\to0}\bigl(-6t-3h\bigr)=-6t,
pois o termo -3h tende a 0.

Passo 5

Portanto obtemos a expressão geral da derivada:
\frac{ds}{dt}(t)=-6t.
Agora basta avaliar em t=-1:
\left.\frac{ds}{dt}\right|_{t=-1}=-6\cdot(-1)=6.

Passo 6

Dica rápida para a prova (atalho): em vez da definição por limite, pode-se usar regras básicas:
  • A derivada de uma constante 1 é 0.
  • A derivada de t^{2} é 2t (regra do expoente).
  • Uma constante multiplicativa sai multiplicando a derivada (regra do fator constante).
    Aplicando: \dfrac{d}{dt}\bigl(1-3t^{2}\bigr)=0-3\cdot 2t=-6t, e em t=-1 6. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

\left.\dfrac{ds}{dt}\right|_{t=-1}=6

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