Nos Exercícios de 1 a 20, calcule a integral indefinida.
integral d t(t+2)^2(t+1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral dt(t+2)^2(t+1)
Esse é um caso clássico de função racional que podemos resolver usando decomposição em frações parciais.

Passo 2

Começamos escrevendo a decomposição em frações parciais:
1(t+2)^2(t+1) = At+1 + Bt+2 + C(t+2)^2
Em seguida, multiplicamos ambos os lados por (t+1)(t+2)^2 para determinar A,B,C.

Passo 3

Multiplicando e expandindo, obtemos:
1 = A(t+2)^2 + B(t+1)(t+2) + C(t+1)
Expandindo e comparando coeficientes dos termos em t^2, t e constantes:
  • Coeficiente de t^2: A + B = 0
  • Coeficiente de t: 4A + 3B + C = 0
  • Termo constante: 4A + 2B + C = 1
    Resolvendo esse sistema, encontramos A = 1, B = -1 e C = -1.

Passo 4

Substituindo de volta na integral:
integral dt(t+2)^2(t+1) = integral l(1t+1 - 1t+2 - 1(t+2)^2r) dt
Agora integramos termo a termo:
  • integral 1t+1 dt = ln|t+1|
  • integral -1t+2 dt = -ln|t+2|
  • integral -1(t+2)^2 dt = 1t+2.

Passo 5

Juntando tudo, a antiderivada fica:
ln|t+1| - ln|t+2| + 1t+2 + C
Podemos ainda condensar os logaritmos numa única expressão.

Passo 6

Finalizando, a forma mais enxuta é:
lnt+1t+2 + 1t+2 + C

Resposta

lnt+1t+2 + 1t+2 + C

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