Nos Exercícios de 1 a 20, calcule a integral indefinida.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Esse é um caso clássico de função racional que podemos resolver usando decomposição em frações parciais.
Passo 2
Começamos escrevendo a decomposição em frações parciais:
Em seguida, multiplicamos ambos os lados por
para determinar
.
Passo 3
Multiplicando e expandindo, obtemos:
Expandindo e comparando coeficientes dos termos em
,
e constantes:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Resolvendo esse sistema, encontramos, e .
Passo 4
Substituindo de volta na integral:
Agora integramos termo a termo:
-
-
-
.
Passo 5
Juntando tudo, a antiderivada fica:
Podemos ainda condensar os logaritmos numa única expressão.
Passo 6
Finalizando, a forma mais enxuta é: