Se phi e F são campos escalar e vetorial respectivamente. Responda as seguintes perguntas:
a) Use o operador nabla nabla=partialpartial x i+partialpartial y j+partialpartial z k expressar formalmente div(phi F) em termos de tal operador. Diga se a expressão div(phi F) é escalar ou vetorial? Identifique todas as operações vetoriais que estão envolvidas em tal div(phi F) ?

Passo 1

Beleza, então a gente vai resolver a pergunta que fala sobre campos escalar e vetorial, especificamente usando o operador nabla. O que a gente precisa fazer aqui é expressar formalmente a divergência de usando o operador nabla e também determinar se essa expressão é escalar ou vetorial. Além disso, vamos identificar quais operações vetoriais estão envolvidas nessa expressão. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre o operador divergente e como ele interage com produtos de campos escalares e vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o operador divergente. O operador divergente de um campo vetorial div(G) = nabla cdot G = partial Gxpartial x + partial Gypartial y + partial Gzpartial z é dado por:
Aqui, é o operador nabla, que representa as derivadas parciais em relação às coordenadas , e .

Passo 3

Agora, queremos encontrar div(phi F) = nabla cdot (phi F) = phi (nabla cdot F) + F cdot (nabla phi) , onde é um campo escalar e é um campo vetorial. Para isso, vamos usar a regra do produto para a divergente, que é semelhante à regra do produto em cálculo diferencial.
A regra do produto para a divergente diz que:

Passo 4

Vamos entender cada parte dessa expressão:
  1. : Aqui, multiplicamos o campo escalar pela divergente de . Isso significa que estamos escalando a divergente de por .
  2. : Nesse termo, estamos fazendo o produto escalar entre o campo vetorial e o gradiente de , que é . O gradiente de é um campo vetorial que aponta na direção de maior aumento de .

Passo 5

Agora, juntando tudo, a expressão formal para div(phi F) = phi (nabla cdot F) + F cdot (nabla phi) fica:

Passo 6

Quanto à natureza da expressão , ela é escalar. Isso porque a divergente de qualquer campo vetorial resulta em um campo escalar.

Passo 7

Agora, vamos identificar as operações vetoriais envolvidas:
  1. Produto Escalar ( ): No termo , estamos fazendo o produto escalar entre o operador nabla e o campo vetorial .
  2. Produto Escalar ( ): No termo , novamente estamos fazendo o produto escalar entre e o gradiente de .

Resposta

A divergente de div(phi F) = phi (nabla cdot F) + F cdot (nabla phi) expressa formalmente pelo operador nabla é:
Essa expressão é escalar. As operações vetoriais envolvidas são dois produtos escalares: um entre e , e outro entre e .

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