Se
e
são campos escalar e vetorial respectivamente. Responda as seguintes perguntas:
a) Use o operador nabla
expressar formalmente
em termos de tal operador. Diga se a expressão
é escalar ou vetorial? Identifique todas as operações vetoriais que estão envolvidas em tal
?
a) Use o operador nabla
Passo 1
Beleza, então a gente vai resolver a pergunta que fala sobre campos escalar e vetorial, especificamente usando o operador nabla. O que a gente precisa fazer aqui é expressar formalmente a divergência de
usando o operador nabla
e também determinar se essa expressão é escalar ou vetorial. Além disso, vamos identificar quais operações vetoriais estão envolvidas nessa expressão. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre o operador divergente e como ele interage com produtos de campos escalares e vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o operador divergente. O operador divergente de um campo vetorial
é dado por:
Aqui,
é o operador nabla, que representa as derivadas parciais em relação às coordenadas
,
e
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar
, onde
é um campo escalar e
é um campo vetorial. Para isso, vamos usar a regra do produto para a divergente, que é semelhante à regra do produto em cálculo diferencial.
A regra do produto para a divergente diz que:
Passo 4
Vamos entender cada parte dessa expressão:
-
: Aqui, multiplicamos o campo escalar pela divergente de . Isso significa que estamos escalando a divergente de por . -
: Nesse termo, estamos fazendo o produto escalar entre o campo vetorial e o gradiente de , que é . O gradiente de é um campo vetorial que aponta na direção de maior aumento de .
Passo 5
Agora, juntando tudo, a expressão formal para
fica:
Passo 6
Quanto à natureza da expressão
, ela é escalar. Isso porque a divergente de qualquer campo vetorial resulta em um campo escalar.
Passo 7
Agora, vamos identificar as operações vetoriais envolvidas:
-
Produto Escalar (
): No termo , estamos fazendo o produto escalar entre o operador nabla e o campo vetorial . -
Produto Escalar (
): No termo , novamente estamos fazendo o produto escalar entre e o gradiente de .
Resposta
A divergente de
expressa formalmente pelo operador nabla é:
Essa expressão é escalar. As operações vetoriais envolvidas são dois produtos escalares: um entre
e
, e outro entre
e
.