Nos Exercícios de 21 a 38, determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=0^+infty n!10^n

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série sumn=0^+infty n!10^n. O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos precisar do critério da razão para séries positivas.

Passo 2

O critério da razão diz que, para an>=0, se definirmos
L=limntoinftyan+1an,
então a série converge se L<1, diverge se L>1 e fica inconclusivo se L=1.

Passo 3

Aqui temos an=n!10^n. Vamos calcular a razão:
an+1an=(n+1)!10^n+1n!10^n=(n+1)!n!cdot10^n10^n+1=n+110

Passo 4

Agora fazemos o limite:
L=limntoinftyn+110=+infty>1
Como o limite é maior que 1, pelo critério da razão a série diverge.

Passo 5

Portanto, a série não converge; ela é divergente.

Resposta

A série diverge.

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