Nos Exercícios de 39 a 48, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove as suas respostas.
sumn=1^+infty(-1)^n-1 1(n+1)^3 / 4

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série alternada sumn=1^infty(-1)^n-11(n+1)^3/4 no sentido de convergência absoluta, condicional ou divergência. O tópico principal é teste de séries (p-série e série alternada de Leibniz).

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty|(-1)^n-11(n+1)^3/4| = sumn=1^infty1(n+1)^3/4
Esta é uma p-série com expoente p=3/4<1. Sabemos que p-séries convergem se, e só se, p>1. Como p<1, a série diverge, logo não é absolutamente convergente.

Passo 3

Agora para a convergência condicional, usamos o critério de Leibniz para séries alternadas. Definimos
an = 1(n+1)^3/4
1) Verificamos que
limntoinftyan = 0
  1. Observamos que an+1 para todo n, pois (n+2)^3/4>(n+1)^3/4 implica 1/(n+2)^3/4<1/(n+1)^3/4.
    Pelos itens acima, a série alternada converge por critério de Leibniz.

Passo 4

Como não é absolutamente convergente, mas converge alternadamente, ela é condicionalmente convergente.

Resposta

Condicionalmente convergente.

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