Nos Exercícios de 21 a 38, determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty 3+sen nn^2

Passo 1

Temos a série an=3+sin nn^2. O termo geral é e o conteúdo é teste de convergência de séries numéricas, em especial comparação com p-série e convergência absoluta.

Passo 2

Recordando o critério da p-série:
sumn=1^infty1n^pconver>= se p>1
No nosso caso, p=2>1, então a série sum1/n^2 converge.

Passo 3

Observando que sin n está sempre em [-1,1], temos
2<= 3+sin n<= 4
Logo,
|3+sin n|<= 4

Passo 4

Daí
|an|=|3+sin nn^2|<= 4n^2
Como sumn=1^infty4n^2=4sum1/n^2 converge, pelo teste da comparação para séries de termos não negativos sum|an| converge. Isso implica que a série original converge absolutamente.

Resposta

A série é convergente (converge absolutamente).

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