Determine a transformada de Laplace dos seguintes sinais:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se a transformada de Laplace do sinal
. - Informação dada:
é a frequência (constante) e é a função degrau unitário (ou seja, o sinal está definido para ). - Resultado esperado: uma expressão em termos da variável complexa
(a transformada de Laplace), e a região de convergência em .
Passo 2
Definição da transformada de Laplace e significado das variáveis (aula rápida):
- A transformada de Laplace de uma função causal
(ou seja, multiplicada por ) é
onde
é uma variável complexa que escrevemos como
.
- Aqui
. O fator serve para “pagar” a oscilação e possibilitar a convergência da integral para certos valores de .
Passo 3
Expressar
em termos de exponenciais complexas (fórmula útil e por que funciona):
- Usa-se a identidade de Euler
- Substituir na integral torna a integração direta, porque a transformada de
é simples quando .
Passo 4
Aplicar a definição e separar em duas integrais:
Isso dá duas integrais exponenciais:
Cada integral é do tipo
, cuja avaliação é
Aplicando isso com
e
(portanto exigindo
) obtemos
Passo 5
Fazer a soma algébrica e simplificar (passo a passo):
No numerador os termos em
cancelam, sobrando
. No denominador temos uma diferença de quadrados:
Portanto a expressão simplifica para
Passo 6
Região de convergência e observações finais:
- A exigência usada para calcular
foi . Aqui , por isso a condição comum é . - Conclusão prática: a transformada existe para
. Em provas, essa condição costuma ser pedida; justifique-a dizendo que é limitada e que a decaída precisa ter para tornar a integral convergente.