Determine a transformada de Laplace dos seguintes sinais:
\cos \omega_{0} t u(t)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se a transformada de Laplace do sinal \cos \omega_{0} t\,u(t).
  • Informação dada: \omega_{0} é a frequência (constante) e u(t) é a função degrau unitário (ou seja, o sinal está definido para t\ge0).
  • Resultado esperado: uma expressão em termos da variável complexa s (a transformada de Laplace), e a região de convergência em s.

Passo 2

Definição da transformada de Laplace e significado das variáveis (aula rápida):
  • A transformada de Laplace de uma função causal f(t) (ou seja, multiplicada por u(t)) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-s t}\,dt,
onde s é uma variável complexa que escrevemos como s=\sigma + j\Omega.
  • Aqui f(t)=\cos\omega_{0}t. O fator e^{-st} serve para “pagar” a oscilação e possibilitar a convergência da integral para certos valores de \sigma=\Re(s).

Passo 3

Expressar \cos\omega_{0}t em termos de exponenciais complexas (fórmula útil e por que funciona):
  • Usa-se a identidade de Euler
\cos\omega_{0}t=\frac{e^{j\omega_{0}t}+e^{-j\omega_{0}t}}{2}.
  • Substituir na integral torna a integração direta, porque a transformada de e^{at} é simples quando \Re(-a)>0.

Passo 4

Aplicar a definição e separar em duas integrais:
\mathcal{L}\{\cos\omega_{0}t\,u(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos\omega_{0}t\,dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\bigl(e^{j\omega_{0}t}+e^{-j\omega_{0}t}\bigr)\,dt.
Isso dá duas integrais exponenciais:
\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-(s-j\omega_{0})t}\,dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-(s+j\omega_{0})t}\,dt.
Cada integral é do tipo \int_{0}^{\infty} e^{-a t}\,dt, cuja avaliação é
\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\,dt=\frac{1}{a}\quad\text{desde que }\Re(a)>0.
Aplicando isso com a=s-j\omega_{0} e a=s+j\omega_{0} (portanto exigindo \Re(s)>0) obtemos
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s-j\omega_{0}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+j\omega_{0}}.

Passo 5

Fazer a soma algébrica e simplificar (passo a passo):
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-j\omega_{0}}+\frac{1}{s+j\omega_{0}}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{(s+j\omega_{0})+(s-j\omega_{0})}{(s-j\omega_{0})(s+j\omega_{0})}.
No numerador os termos em j\omega_{0} cancelam, sobrando 2s. No denominador temos uma diferença de quadrados:
(s-j\omega_{0})(s+j\omega_{0})=s^{2}+(\omega_{0})^{2}.
Portanto a expressão simplifica para
\frac{1}{2}\cdot\frac{2s}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}=\frac{s}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}.

Passo 6

Região de convergência e observações finais:
  • A exigência usada para calcular \int_{0}^{\infty} e^{-a t}\,dt=1/a foi \Re(a)>0. Aqui a=s\pm j\omega_{0}, por isso a condição comum é \Re(s)>0.
  • Conclusão prática: a transformada existe para \Re(s)>0. Em provas, essa condição costuma ser pedida; justifique-a dizendo que \cos\omega_{0}t é limitada e que a decaída e^{-\sigma t} precisa ter \sigma>0 para tornar a integral convergente.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{\cos\omega_{0}t\,u(t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}, \Re(s)>0

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