Determine a transformada de Laplace dos seguintes sinais:
u(t)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace do sinal u(t).
Informações dadas (assumidas como padrão para sinais de engenharia):
  • u(t) é a função degrau unitário (Heaviside), ou seja, para todos os propósitos da transformada unilateral,
u(t)=1\quad\text{para }t\ge 0.
  • A transformada de Laplace que usaremos é a unilateral (a partir de t=0):
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-st}\,dt.

Passo 2

Apresentando a definição claramente e explicando as variáveis:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-st}\,dt.
Aqui:
  • t é a variável de tempo (real, t\ge 0);
  • s é a variável complexa de frequência, que normalmente se escreve s=\sigma + j\omega com \sigma=\Re(s);
  • A integral converge somente para valores de s tais que o integrando tende a zero rápido o suficiente quando t\to\infty; essa condição define a região de convergência (ROC).

Passo 3

Substituindo f(t)=u(t)=1 na definição:
\mathcal{L}\{u(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} 1\cdot e^{-st}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt.

Passo 4

Calcule a integral como um limite de integrais finitas. Para T>0,
\int_{0}^{T} e^{-st}\,dt=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{t=0}^{t=T}=-\frac{1}{s}e^{-sT}+\frac{1}{s}=\frac{1}{s}\bigl(1-e^{-sT}\bigr).

Passo 5

Agora fazemos T\to\infty. Precisamos estudar \lim_{T\to\infty} e^{-sT}. Escrevendo s=\sigma+j\omega,
e^{-sT}=e^{-(\sigma+j\omega)T}=e^{-\sigma T}\,e^{-j\omega T}.
O fator e^{-j\omega T} tem módulo 1 (oscila), enquanto e^{-\sigma T} tende a 0 quando \sigma>0. Logo a integral converge se, e somente se, \Re(s)=\sigma>0. Sob essa condição,
\lim_{T\to\infty} e^{-sT}=0\quad\text{para }\Re(s)>0.
Portanto, para \Re(s)>0,
\mathcal{L}\{u(t)\}(s)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{s}\bigl(1-e^{-sT}\bigr)=\frac{1}{s}.

Passo 6

Resumo final e observação prática: a transformada de Laplace do degrau unitário u(t) é \dfrac{1}{s} e sua região de convergência é \Re(s)>0. Essa forma é muito usada como bloco básico em transformadas — sempre lembre de indicar a ROC, porque duas funções com mesma expressão algébrica podem ter ROCs diferentes.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{u(t)\}(s)=\frac{1}{s},\qquad \Re(s)>0

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