Entendendo o que significa \lim_{r\to 1^{+}} g(r). \lim_{r\to 1^{+}} g(r) é o valor que g(r) se aproxima quando r toma valores maiores que 1 e muito próximos de 1. Para esses r>1 usamos a expressão válida nessa região: g(r)=7-2r.
Como 7-2r é uma função linear (portanto contínua para todos os r nessa região), podemos avaliar a expressão quando r tende a 1 simplesmente substituindo r=1 na expressão que vale à direita de 1. Assim:
Entendendo \lim_{r\to 1^{-}} g(r). \lim_{r\to 1^{-}} g(r) é o valor que g(r) se aproxima quando r toma valores menores que 1 e muito próximos de 1. Para esses r<1 usamos a expressão g(r)=2r+3.
Novamente 2r+3 é linear e contínua nessa região, então:
Como os limites lateral direito e esquerdo são iguais, o limite bilateral existe e vale esse mesmo valor:
\lim_{r\to 1} g(r)=5.
Observação sobre continuidade: o valor da função em r=1 foi dado como g(1)=2, que é diferente do limite 5. Portanto a função é descontínua em r=1. Esse tipo de descontinuidade (onde o limite existe mas é diferente do valor da função) costuma ser chamado de descontinuidade removível — geometricamente há um “buraco” em (1,5) e um ponto preenchido em (1,2).
Passo 5
Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova):
Para r<1: desenhar a reta y=2r+3. Alguns pontos úteis: \,r=0\Rightarrow y=3, \,r=1^{-} (approach) dá y\to 5. No ponto r=1 essa reta teria o valor 5, então no esboço marque uma circunferência aberta em (1,5).
Para r>1: desenhar a reta y=7-2r. Alguns pontos úteis: \,r=1^{+}\Rightarrow y\to 5, \,r=2\Rightarrow y=3. Novamente em r=1 a expressão dá 5, então marque também uma circunferência aberta em (1,5) do lado direito.
Em r=1: coloque um ponto preenchido em (1,2) porque g(1)=2.
Assim o gráfico mostra duas retas que se aproximam do mesmo valor 5 ao chegar em r=1 (com um buraco em (1,5)) e um ponto isolado em (1,2).