Nos Exercícios de 1 a 22, faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado, se existir; se não existir, indique a razão disto.
g(r)= \begin{cases}2 r+3 & \text { se } r<1 \\\\ 2 & \text { se } r=1 \\\\ 7-2 r & \text { se } 1<r\end{cases}
(a) \lim _{r \rightarrow 1^{+}} g(r); (b) \lim _{r \rightarrow 1^{-}} g(r); (c) \lim _{r \rightarrow 1} g(r)

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes
g(r)= \begin{cases} 2r+3 & \text{se } r<1,\\[4pt] 2 & \text{se } r=1,\\[4pt] 7-2r & \text{se } r>1. \end{cases}
As perguntas são:
(a) calcular \lim_{r\to 1^{+}} g(r);
(b) calcular \lim_{r\to 1^{-}} g(r);
(c) calcular \lim_{r\to 1} g(r) (o limite bilateral).
Informações relevantes dadas:
  • Para r<1 a expressão de g é \,2r+3.
  • Para r=1 o valor da função é g(1)=2.
  • Para r>1 a expressão de g é \,7-2r.]

Passo 2

Entendendo o que significa \lim_{r\to 1^{+}} g(r).
\lim_{r\to 1^{+}} g(r) é o valor que g(r) se aproxima quando r toma valores maiores que 1 e muito próximos de 1. Para esses r>1 usamos a expressão válida nessa região: g(r)=7-2r.
Como 7-2r é uma função linear (portanto contínua para todos os r nessa região), podemos avaliar a expressão quando r tende a 1 simplesmente substituindo r=1 na expressão que vale à direita de 1. Assim:
\lim_{r\to 1^{+}} g(r)=\lim_{r\to 1^{+}}(7-2r)=7-2\cdot 1=5.

Passo 3

Entendendo \lim_{r\to 1^{-}} g(r).
\lim_{r\to 1^{-}} g(r) é o valor que g(r) se aproxima quando r toma valores menores que 1 e muito próximos de 1. Para esses r<1 usamos a expressão g(r)=2r+3.
Novamente 2r+3 é linear e contínua nessa região, então:
\lim_{r\to 1^{-}} g(r)=\lim_{r\to 1^{-}}(2r+3)=2\cdot 1+3=5.

Passo 4

Comparando as duas limites laterais e concluindo sobre o limite bilateral.
Encontramos
\lim_{r\to 1^{+}} g(r)=5 \qquad\text{e}\qquad \lim_{r\to 1^{-}} g(r)=5.
Como os limites lateral direito e esquerdo são iguais, o limite bilateral existe e vale esse mesmo valor:
\lim_{r\to 1} g(r)=5.
Observação sobre continuidade: o valor da função em r=1 foi dado como g(1)=2, que é diferente do limite 5. Portanto a função é descontínua em r=1. Esse tipo de descontinuidade (onde o limite existe mas é diferente do valor da função) costuma ser chamado de descontinuidade removível — geometricamente há um “buraco” em (1,5) e um ponto preenchido em (1,2).

Passo 5

Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova):
  • Para r<1: desenhar a reta y=2r+3. Alguns pontos úteis:
    \,r=0\Rightarrow y=3, \,r=1^{-} (approach) dá y\to 5. No ponto r=1 essa reta teria o valor 5, então no esboço marque uma circunferência aberta em (1,5).
  • Para r>1: desenhar a reta y=7-2r. Alguns pontos úteis:
    \,r=1^{+}\Rightarrow y\to 5, \,r=2\Rightarrow y=3. Novamente em r=1 a expressão dá 5, então marque também uma circunferência aberta em (1,5) do lado direito.
  • Em r=1: coloque um ponto preenchido em (1,2) porque g(1)=2.
Assim o gráfico mostra duas retas que se aproximam do mesmo valor 5 ao chegar em r=1 (com um buraco em (1,5)) e um ponto isolado em (1,2).

Resposta

(a) 5
(b) 5
(c) 5

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