Utilizando os teoremas simplifique a expressão:
\mathrm{F}=\bar{X} . Z+(X \oplus W)+X . \bar{Y}+(W \odot Z)+\bar{X} . Y . \bar{W} . Z
(a) X+\bar{X} Y=X+Y

Passo 1

O enunciado dá a expressão booleana
\mathrm{F}=\bar{X}\cdot Z+(X \oplus W)+X\cdot \bar{Y}+(W \odot Z)+\bar{X}\cdot Y\cdot \bar{W}\cdot Z
e pede que se simplifique usando teoremas (foi dada também a identidade
X+\bar{X}Y=X+Y
como referência). Vou listar claramente o que está dado e o que se quer:
  • Dado: a expressão acima (note que os símbolos usados são: \cdot e \odot para AND, + para OR, sobrebarra para NOT, e \oplus para XOR).
  • Pedir: simplificar \mathrm{F} aplicando teoremas de álgebra booleana.

Passo 2

Primeira coisa prática: escrever a expressão em termos básicos, expandindo o XOR. Lembrando que
X\oplus W = X\bar{W}+\bar{X}W.
Substituindo isso em \mathrm{F} e trocando \odot por \cdot (AND), obtemos:
\mathrm{F}=\bar{X}\cdot Z + \bigl(X\bar{W}+\bar{X}W\bigr) + X\bar{Y} + WZ + \bar{X}Y\bar{W}Z.
Agora temos a soma de mintermos/termos em forma canônica (soma de produtos). Vou trabalhar a partir daí.

Passo 3

Procurar termos redundantes: observe os dois últimos termos que envolvem \bar{X}\cdot Z:
\bar{X}\cdot Z \quad\text{e}\quad \bar{X}\cdot Y\cdot \bar{W}\cdot Z.
Podemos fatorar \bar{X}\cdot Z nesses dois termos:
\bar{X}Z + \bar{X}Y\bar{W}Z = \bar{X}Z\bigl(1 + Y\bar{W}\bigr).
Como em álgebra booleana 1 + A = 1 (OR com 1 dá 1), tem-se 1 + Y\bar{W} = 1. Logo
\bar{X}Z + \bar{X}Y\bar{W}Z = \bar{X}Z.
Isso mostra que o termo \bar{X}Y\bar{W}Z é absorvido pelo termo \bar{X}Z e, portanto, é redundante — pode ser eliminado sem mudar a função.

Passo 4

Usando a redução do passo anterior, a expressão simplifica para
\mathrm{F}=\bar{X}Z + X\bar{W} + \bar{X}W + X\bar{Y} + WZ.
(ou seja, removemos o último termo porque já estava coberto por \bar{X}Z). Esta já é uma forma mais simples (soma de produtos) — agora vou organizar e fatorar para obter uma escrita um pouco mais compacta, que também ajuda a ver possíveis novas simplificações.

Passo 5

Agrupando e factorizando termos em pares úteis:
  • Agrupo os termos com X: X\bar{W}+X\bar{Y}=X(\bar{W}+\bar{Y}).
  • Agrupo os termos com \bar{X} (mais o WZ que envolve W e Z): \bar{X}W+\bar{X}Z=\bar{X}(W+Z).
    Assim a função fica
\mathrm{F}=X(\bar{W}+\bar{Y})+\bar{X}(W+Z)+WZ.

Passo 6

Podemos ainda escrever o par \bar{X}(W+Z)+WZ de forma factorizada em relação a Z, para ficar mais claro:
\bar{X}(W+Z)+WZ = \bar{X}W+\bar{X}Z+WZ = \bar{X}W + Z(\bar{X}+W).
Substituindo na expressão de \mathrm{F} obtemos uma forma final compacta:
\mathrm{F}=X(\bar{W}+\bar{Y}) + \bar{X}W + Z(\bar{X}+W).
Essa é uma forma simplificada e bem interpretável: contém um termo em que X está combinado com \bar{W} e \bar{Y}, um termo \bar{X}W e um termo que envolve Z combinado com \bar{X} e W. Ela foi obtida aplicando expansão do XOR, fatoração e a lei de absorção para eliminar o termo redundante.

Resposta

\mathrm{F}=X(\bar{W}+\bar{Y})+\bar{X}W+Z(\bar{X}+W)

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