Utilizando os teoremas simplifique a expressão:
(a)
Passo 1
O enunciado dá a expressão booleana
e pede que se simplifique usando teoremas (foi dada também a identidade
como referência). Vou listar claramente o que está dado e o que se quer:
- Dado: a expressão acima (note que os símbolos usados são:
e para AND, para OR, sobrebarra para NOT, e para XOR). - Pedir: simplificar
aplicando teoremas de álgebra booleana.
Passo 2
Primeira coisa prática: escrever a expressão em termos básicos, expandindo o XOR. Lembrando que
Substituindo isso em
e trocando
por
(AND), obtemos:
Agora temos a soma de mintermos/termos em forma canônica (soma de produtos). Vou trabalhar a partir daí.
Passo 3
Procurar termos redundantes: observe os dois últimos termos que envolvem
:
Podemos fatorar
nesses dois termos:
Como em álgebra booleana
(OR com 1 dá 1), tem-se
. Logo
Isso mostra que o termo
é absorvido pelo termo
e, portanto, é redundante — pode ser eliminado sem mudar a função.
Passo 4
Usando a redução do passo anterior, a expressão simplifica para
(ou seja, removemos o último termo porque já estava coberto por
). Esta já é uma forma mais simples (soma de produtos) — agora vou organizar e fatorar para obter uma escrita um pouco mais compacta, que também ajuda a ver possíveis novas simplificações.
Passo 5
Agrupando e factorizando termos em pares úteis:
- Agrupo os termos com
: . - Agrupo os termos com
(mais o que envolve e ): .
Assim a função fica
Passo 6
Podemos ainda escrever o par
de forma factorizada em relação a
, para ficar mais claro:
Substituindo na expressão de
obtemos uma forma final compacta:
Essa é uma forma simplificada e bem interpretável: contém um termo em que
está combinado com
e
, um termo
e um termo que envolve
combinado com
e
. Ela foi obtida aplicando expansão do XOR, fatoração e a lei de absorção para eliminar o termo redundante.