Nos Exercícios de 1 a 22, faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado, se existir; se não existir, indique a razão disto.
F(x)= \begin{cases}\sqrt{x^{2}-9} & \text { se } x \leqslant-3 \\\ \sqrt{9-x^{2}} & \text { se } -3<x<3 \\\ \sqrt{x^{2}-9} & \text { se } 3 \leqslant x\end{cases}
\lim _{x \rightarrow-3^{+}} F(x);

Passo 1

O enunciado define a função por partes
F(x)= \begin{cases}\sqrt{x^{2}-9}, & \text{se } x \leqslant -3,\\[4pt] \sqrt{9-x^{2}}, & \text{se } -3<x<3,\\[4pt] \sqrt{x^{2}-9}, & \text{se } 3 \leqslant x,\end{cases}
e pede o limite lateral à direita
\lim_{x\to -3^{+}} F(x).
Informações relevantes dadas:
  • Para valores de x ligeiramente maiores que -3 (ou seja, ao aproximar-se por valores à direita de -3), o ramo que vale é \sqrt{9-x^{2}}, porque esse ramo está definido para -3<x<3.
  • O comportamento imediato da função à direita de -3 vem portanto da expressão \sqrt{9-x^{2}}.]

Passo 2

Como estamos calculando o limite pela direita ( x\to -3^{+}), substituímos F(x) pelo ramo aplicável nessa vizinhança:
\lim_{x\to -3^{+}} F(x)=\lim_{x\to -3^{+}} \sqrt{9-x^{2}}.
Explicando por que isso vale: “pela direita” significa considerar somente valores de x com -3<x<3, e nesse intervalo a definição de F é exatamente \sqrt{9-x^{2}}.

Passo 3

Agora avaliamos o limite da função \sqrt{9-x^{2}} quando x se aproxima de -3 por valores maiores que -3.
Primeiro, observe que a função interior
g(x)=9-x^{2}
é um polinômio (logo contínuo). A função \sqrt{\;\cdot\;} é contínua no seu domínio [0,\infty). Para -3<x<3 temos g(x)\ge 0, então a composição \sqrt{g(x)} é contínua nessa faixa. Portanto, podemos usar a propriedade de continuidade da composição e substituir diretamente x=-3 no interior:
Calcule passo a passo:
(-3)^{2}=9,
9-(-3)^{2}=9-9=0,
\sqrt{0}=0.
Também vale comentar: à medida que x tende a -3 por valores maiores, g(x)=9-x^{2} tende a 0 por valores não negativos, então a raiz tende a 0 por valores não negativos — consistência total.

Passo 4

Conclusão: o limite lateral pela direita existe e é igual ao valor obtido pela substituição acima.

Resposta

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