Utilizando os teoremas simplifique a expressão:
\mathrm{F}=\bar{X} . Z+(X \oplus W)+X . \bar{Y}+(W \odot Z)+\bar{X} . Y . \bar{W} . Z
(a) X Y+X \bar{Y}=X

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão booleana
\mathrm{F}=\bar{X}\cdot Z+(X \oplus W)+X\cdot\bar{Y}+(W \odot Z)+\bar{X}\cdot Y\cdot\bar{W}\cdot Z
e uma identidade indicada: \,X Y+X \bar{Y}=X\,.
Informações relevantes a listar (tiradas do enunciado):
  • X\oplus W é o operador XOR (ou exclusivo) entre X e W.
  • W\odot Z significa W\cdot Z (AND).
  • Temos termos com negações ( \bar{X}, \bar{Y}, \bar{W}), somas (OR, denotado +) e produtos (AND, denotado \cdot ou sem ponto).
  • O objetivo: simplificar \mathrm{F} usando teoremas/identidades booleanas (como a identidade dada).

Passo 2

Primeiro, vou lembrar e explicar algumas identidades úteis (com linguagem simples):
  • Complemento: \bar{A}A=0 e A+ \bar{A}=1.
  • Absorção: A + A B = A e A(A + B)=A.
  • Distributiva: A(B + C)=AB + AC e A + BC = (A + B)(A + C).
  • Identidade útil (dada): X Y + X \bar{Y} = X. Interpretação: se X é 1, então X é 1 independentemente de Y; se X é 0, ambos os termos são 0.
  • XOR em termos de operações básicas: X \oplus W = X\bar{W} + \bar{X}W.
    Vou usar essas identidades passo a passo para simplificar.

Passo 3

Primeiro expando os operadores compostos para trabalhar com soma e produto:
X\oplus W = X\bar{W} + \bar{X}W,\qquad W\odot Z = WZ.
Substituindo na expressão:
\mathrm{F}=\bar{X}Z + (X\bar{W} + \bar{X}W) + X\bar{Y} + WZ + \bar{X}Y\bar{W}Z.

Passo 4

Observo o último termo \bar{X}Y\bar{W}Z. Ele é um caso mais específico do termo \bar{X}Z, pois
\bar{X}Z + \bar{X}Y\bar{W}Z = \bar{X}Z\bigl(1 + Y\bar{W}\bigr) = \bar{X}Z,
já que 1+(\cdot)=1. Portanto o termo \bar{X}Y\bar{W}Z é redundante e pode ser eliminado. Agora temos:
\mathrm{F}=\bar{X}Z + X\bar{W} + \bar{X}W + X\bar{Y} + WZ.

Passo 5

Agrupo os termos que contêm Z e fatoro onde convém:
\mathrm{F} = \bar{X}Z + WZ + X\bar{W} + \bar{X}W + X\bar{Y}.
Coloco os dois primeiros em evidência de Z:
\mathrm{F} = Z(\bar{X}+W) + X\bar{W} + \bar{X}W + X\bar{Y}.
Essa escrita mostra que sempre que Z=1 a função tende a ficar 1 dependendo de \bar{X}+W, e quando Z=0 sobram os outros termos.

Passo 6

Uma forma prática (e didática) de simplificar é dividir pelos dois valores possíveis de W (isso é equivalente a usar \bar{W}+W=1 e depois recombinar):
  • Se W=0: substituir em \mathrm{F} (usando a expressão original simplificada antes da eliminação redundante):
    \mathrm{F}_{W=0}=\bar{X}Z + X\bar{0} + \bar{X}\cdot0 + X\bar{Y} + 0\cdot Z = \bar{X}Z + X + X\bar{Y}.
    Aplicando a identidade \,X + X\bar{Y} = X\, (a identidade dada), obtemos
    \mathrm{F}_{W=0}=X + \bar{X}Z.
    Depois uso a identidade A + \bar{A}B = A + B com A=X e B=Z:
    X + \bar{X}Z = X + Z.
    Logo, quando W=0: \mathrm{F}=X+Z.
  • Se W=1: substituir:
    \mathrm{F}_{W=1}=\bar{X}Z + X\bar{1} + \bar{X}\cdot1 + X\bar{Y} + 1\cdot Z = \bar{X}Z + 0 + \bar{X} + X\bar{Y} + Z.
    Agora \bar{X} + \bar{X}Z = \bar{X} (absorção), então
    \mathrm{F}_{W=1}=\bar{X} + X\bar{Y} + Z.
    Aplico a identidade \bar{X} + X\bar{Y} = \bar{X} + \bar{Y} (obtida como \bar{X} + X\bar{Y} = (\bar{X}+X)(\bar{X}+\bar{Y}) = 1\cdot(\bar{X}+\bar{Y})):
    \mathrm{F}_{W=1}=\bar{X} + \bar{Y} + Z.

Passo 7

Agora recombino as duas situações W=0 e W=1 em uma única expressão usando \bar{W} e W:
\mathrm{F} = (X+Z)\bar{W} + (\bar{X}+\bar{Y}+Z)W.
Faço a expansão para escrever em forma simples (distribuindo):
\mathrm{F} = X\bar{W} + Z\bar{W} + \bar{X}W + \bar{Y}W + ZW.
Agrupando os termos de Z:
\mathrm{F} = X\bar{W} + \bar{X}W + \bar{Y}W + Z(\bar{W}+W).
Como \bar{W}+W=1, obtemos finalmente
\mathrm{F} = Z + X\bar{W} + \bar{X}W + \bar{Y}W.

Passo 8

Podemos reescrever essa forma de maneira ainda mais curta reconhecendo o XOR:
X\bar{W} + \bar{X}W = X\oplus W.
Então outra forma compacta é
\mathrm{F} = Z + (X\oplus W) + W\bar{Y}.
Ambas as formas são equivalentes; a forma em soma de produtos é prática para implementação lógica:
\mathrm{F} = Z + X\bar{W} + \bar{X}W + \bar{Y}W.

Resposta

\displaystyle \mathrm{F}=Z + X\bar{W} + \bar{X}W + \bar{Y}W

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