Utilizando os teoremas simplifique a expressão:
(a)
Passo 1
O enunciado nos dá a expressão booleana
e uma identidade indicada:
.
Informações relevantes a listar (tiradas do enunciado):
Informações relevantes a listar (tiradas do enunciado):
-
é o operador XOR (ou exclusivo) entre e . -
significa (AND). - Temos termos com negações (
, , ), somas (OR, denotado ) e produtos (AND, denotado ou sem ponto). - O objetivo: simplificar
usando teoremas/identidades booleanas (como a identidade dada).
Passo 2
Primeiro, vou lembrar e explicar algumas identidades úteis (com linguagem simples):
- Complemento:
e . - Absorção:
e . - Distributiva:
e . - Identidade útil (dada):
. Interpretação: se é 1, então é 1 independentemente de ; se é 0, ambos os termos são 0. - XOR em termos de operações básicas:
.
Vou usar essas identidades passo a passo para simplificar.
Passo 3
Primeiro expando os operadores compostos para trabalhar com soma e produto:
Substituindo na expressão:
Passo 4
Observo o último termo
. Ele é um caso mais específico do termo
, pois
já que
. Portanto o termo
é redundante e pode ser eliminado. Agora temos:
Passo 5
Agrupo os termos que contêm
e fatoro onde convém:
Coloco os dois primeiros em evidência de
:
Essa escrita mostra que sempre que
a função tende a ficar 1 dependendo de
, e quando
sobram os outros termos.
Passo 6
Uma forma prática (e didática) de simplificar é dividir pelos dois valores possíveis de
(isso é equivalente a usar
e depois recombinar):
-
Se
: substituir em (usando a expressão original simplificada antes da eliminação redundante): Aplicando a identidade(a identidade dada), obtemos Depois uso a identidadecom e : Logo, quando: . -
Se
: substituir: Agora(absorção), então Aplico a identidade(obtida como ):
Passo 7
Agora recombino as duas situações
e
em uma única expressão usando
e
:
Faço a expansão para escrever em forma simples (distribuindo):
Agrupando os termos de
:
Como
, obtemos finalmente
Passo 8
Podemos reescrever essa forma de maneira ainda mais curta reconhecendo o XOR:
Então outra forma compacta é
Ambas as formas são equivalentes; a forma em soma de produtos é prática para implementação lógica: