Utilizando os teoremas simplifique a expressão:
\mathrm{F}=\bar{X} . Z+(X \oplus W)+X . \bar{Y}+(W \odot Z)+\bar{X} . Y . \bar{W} . Z
(b) 1+X=1

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (vou listar exatamente o que temos):
  • A expressão booleana
\mathrm{F}=\bar{X}\cdot Z+(X \oplus W)+X\cdot\bar{Y}+(W \odot Z)+\bar{X}\cdot Y\cdot\bar{W}\cdot Z.
  • A notação usada: \bar{X} é o complemento (NOT) de X; \cdot ou \odot é o AND; + é o OR; X\oplus W é o XOR entre X e W.
    O pedido é simplificar \mathrm{F}. Além disso, há o item (b) afirmar/simplificar \;1+X=1.

Passo 2

Converter operadores compostos em somas de produtos simples (isso ajuda a aplicar teoremas básicos).
  • Primeiro, expandir o XOR por definição:
X\oplus W = X\bar{W} + \bar{X}W.
  • Segundo, interpretar \odot como AND (mesmo que já exista o \cdot):
W\odot Z = WZ.
Substituindo na expressão original obtemos
\mathrm{F}=\bar{X}Z + \bigl(X\bar{W}+\bar{X}W\bigr) + X\bar{Y} + WZ + \bar{X}Y\bar{W}Z.

Passo 3

Usar a propriedade de absorção A + A B = A para eliminar termos que estão contidos em outros.
Observe que \bar{X}Y\bar{W}Z é um produto que contém \bar{X}Z (pois \bar{X}Y\bar{W}Z = \bar{X}Z\cdot(Y\bar{W})). Logo
\bar{X}Z + \bar{X}Y\bar{W}Z = \bar{X}Z
pelo teorema A + AB = A. Assim podemos eliminar o termo mais específico. A expressão fica
\mathrm{F}=\bar{X}Z + X\bar{W} + \bar{X}W + X\bar{Y} + WZ.

Passo 4

Agrupar termos que têm Z para fatorar:
\bar{X}Z + WZ = Z(\bar{X}+W).
Portanto
\mathrm{F}=Z(\bar{X}+W) + \bigl(X\bar{W}+\bar{X}W\bigr) + X\bar{Y}.
Repare que \bigl(X\bar{W}+\bar{X}W\bigr) é novamente X\oplus W, então podemos escrever
\mathrm{F}=Z(\bar{X}+W) + (X\oplus W) + X\bar{Y}.

Passo 5

Mostrar que a parcela Z(\bar{X}+W) pode ser substituída por Z quando já temos o termo X\bar{W} dentro de X\oplus W. A ideia é usar a decomposição
Z = Z(\bar{X}+W) + ZX\bar{W},
porque (\bar{X}+W) + X\bar{W} = 1. Então
Z + (X\oplus W) + X\bar{Y} = Z(\bar{X}+W) + ZX\bar{W} + (X\oplus W) + X\bar{Y}.
Mas ZX\bar{W} é um produto que contém X\bar{W}, e X\bar{W} já aparece em X\oplus W. Pelo teorema de absorção, qualquer termo do tipo ZX\bar{W} é absorvido por X\bar{W}. Assim adicionar ZX\bar{W} não altera a soma quando X\bar{W} já está presente. Portanto
Z(\bar{X}+W) + (X\oplus W) + X\bar{Y} = Z + (X\oplus W) + X\bar{Y}.
Explicando em palavras: se Z=1 então Z por si só faz a soma valer 1; se Z=0 a expressão volta a ser apenas (X\oplus W)+X\bar{Y}. A decomposição algebraica acima formaliza essa ideia e mostra a igualdade.

Passo 6

Reescrever o resultado final de forma bem explícita usando somas de produtos (duas formas equivalentes úteis):
Forma compacta com XOR:
\mathrm{F}=Z + (X\oplus W) + X\bar{Y}.
Forma totalmente em soma-de-produtos (expandindo o XOR):
\mathrm{F}=Z + X\bar{W} + \bar{X}W + X\bar{Y}.
Qualquer uma das duas é uma forma simplificada correta; a segunda é explícita em termos de literais.

Passo 7

Item (b): provar \;1+X=1.
  • Isso é uma identidade básica da álgebra booleana: 1 é o elemento neutro para OR no sentido de que OR com 1 retorna 1. Formalmente, 1+X = 1 porque 1 representa a função que é sempre verdadeira, e OR com algo jamais pode torná-la falsa. Também se pode ver como 1+X=1 pelo fato de 1 = X + \bar{X}, então 1+X = (X+\bar{X})+X = X + \bar{X} = 1 (usando idempotência X+X=X).

Resposta

\mathrm{F}=Z+(X\oplus W)+X\bar{Y}
\;1+X=1

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