Utilizando os teoremas simplifique a expressão:
(b)
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (vou listar exatamente o que temos):
- A expressão booleana
- A notação usada:
é o complemento (NOT) de ; ou é o AND; é o OR; é o XOR entre e .
O pedido é simplificar. Além disso, há o item (b) afirmar/simplificar .
Passo 2
Converter operadores compostos em somas de produtos simples (isso ajuda a aplicar teoremas básicos).
- Primeiro, expandir o XOR por definição:
- Segundo, interpretar
como AND (mesmo que já exista o ):
Substituindo na expressão original obtemos
Passo 3
Usar a propriedade de absorção
para eliminar termos que estão contidos em outros.
Observe que é um produto que contém
(pois
). Logo
Observe que
pelo teorema
. Assim podemos eliminar o termo mais específico. A expressão fica
Passo 4
Agrupar termos que têm
para fatorar:
Portanto
Repare que
é novamente
, então podemos escrever
Passo 5
Mostrar que a parcela
pode ser substituída por
quando já temos o termo
dentro de
. A ideia é usar a decomposição
porque
. Então
Mas
é um produto que contém
, e
já aparece em
. Pelo teorema de absorção, qualquer termo do tipo
é absorvido por
. Assim adicionar
não altera a soma quando
já está presente. Portanto
Explicando em palavras: se
então
por si só faz a soma valer 1; se
a expressão volta a ser apenas
. A decomposição algebraica acima formaliza essa ideia e mostra a igualdade.
Passo 6
Reescrever o resultado final de forma bem explícita usando somas de produtos (duas formas equivalentes úteis):
Forma compacta com XOR:
Forma compacta com XOR:
Forma totalmente em soma-de-produtos (expandindo o XOR):
Qualquer uma das duas é uma forma simplificada correta; a segunda é explícita em termos de literais.
Passo 7
Item (b): provar
.
- Isso é uma identidade básica da álgebra booleana:
é o elemento neutro para OR no sentido de que OR com retorna . Formalmente, porque representa a função que é sempre verdadeira, e OR com algo jamais pode torná-la falsa. Também se pode ver como pelo fato de , então (usando idempotência ).