As informações relevantes dadas são exatamente as três expressões da função em cada intervalo (peguei essas expressões do enunciado).]
Passo 2
Vamos relembrar rapidamente o que é limite lateral e quando o limite total existe.
A definição operacional: \displaystyle \lim_{t\to a^{-}} G(t) é o valor que G(t) se aproxima quando t tende a a por valores menores que a. Análogo para \lim_{t\to a^{+}} G(t) com t vindo por valores maiores que a.
O limite \displaystyle \lim_{t\to a} G(t) existe se, e somente se, as duas one-sided limits existem e são iguais:
Propriedade útil: funções elementares contínuas (por exemplo \sqrt[3]{x} e \sqrt{x} no domínio em que estão definidas) transmitem limites: se h é contínua e \lim_{t\to a} u(t)=L com u(t) dentro do domínio de h, então \lim_{t\to a} h(u(t))=h(L).
Vamos aplicar essas ideias para cada caso, usando as expressões relevantes de G à esquerda e à direita dos pontos -1 e 1.
Passo 3
Calcular \displaystyle \lim_{t\to -1^{-}} G(t).
Quando t\to -1^{-} usamos a definição para t\le -1:
G(t)=\sqrt[3]{t+1}.
Faça a substituição u=t+1. Então quando t\to -1^{-} temos u\to 0^{-}. A função u\mapsto \sqrt[3]{u} é contínua em todo \mathbb{R}, logo
Observação: embora os valores à esquerda sejam negativos (porque u<0 dá \sqrt[3]{u}<0), o limite numérico é 0.
Passo 4
Calcular \displaystyle \lim_{t\to -1^{+}} G(t).
Quando t\to -1^{+} usamos a definição para -1<t<1:
G(t)=\sqrt{1-t^{2}}.
Analise a quantidade dentro da raiz ao aproximar t de -1. Note que
1-t^{2}=(1-t)(1+t).
Para t>-1 mas perto de -1 temos 1+t>0 pequeno e 1-t>0 próximo de 2, portanto 1-t^{2}\to 0^{+}. A função \sqrt{\cdot} é contínua para argumentos não negativos, então
(O valor da função em t=1 é G(1)=\sqrt[3]{1-1}=0, logo a função é contínua em 1.)
Passo 9
Esboço do gráfico (descrição para desenhar rápido na prova):
Para t\le -1: é o gráfico de y=\sqrt[3]{t+1}, que é a cúbica deslocada para a esquerda de 1; em t=-1 atinge y=0 vindo de valores negativos à esquerda.
Para -1<t<1: é a metade superior do círculo de raio 1 centralizado na origem, y=\sqrt{1-t^{2}}. Ela toca o eixo t em (-1,0) e (1,0) e é positiva no interior.
Para t\ge 1: é o gráfico de y=\sqrt[3]{t-1}, cúbica deslocada para a direita de 1; em t=1 vale 0 e para t>1 fica positiva.
Em ambos pontos -1 e 1 as três partes se encontram no valor 0; não há salto — a curva do meio toca as duas cúbicas em (\pm1,0).