Nos Exercícios de 1 a 22, faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado, se existir; se não existir, indique a razão disto.
G(t)= \begin{cases}\sqrt[3]{t+1} & \text { se } t \leqslant-1 \\\ \sqrt{1-t^{2}} & \text { se } -1<t<1 \\\ \sqrt[3]{t-1} & \text { se } 1 \leqslant t\end{cases}
(a) \lim _{t \rightarrow-1^{-}} G(t);
(b) \lim _{t \rightarrow-1^{+}} G(t);
(c) \lim _{t \rightarrow-1} G(t);
(d) \lim _{t \rightarrow 1^{-}} G(t);
(e) \lim _{t \rightarrow 1^{+}} G(t);
(f) \lim _{t \rightarrow 1} G(t)

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
G(t)= \begin{cases}\sqrt[3]{t+1} & \text{se } t \le -1,\\[4pt] \sqrt{1-t^{2}} & \text{se } -1<t<1,\\[4pt] \sqrt[3]{t-1} & \text{se } 1 \le t, \end{cases}
e pede os seguintes limites:
(a) \displaystyle \lim_{t\to -1^{-}} G(t);
(b) \displaystyle \lim_{t\to -1^{+}} G(t);
(c) \displaystyle \lim_{t\to -1} G(t);
(d) \displaystyle \lim_{t\to 1^{-}} G(t);
(e) \displaystyle \lim_{t\to 1^{+}} G(t);
(f) \displaystyle \lim_{t\to 1} G(t).
As informações relevantes dadas são exatamente as três expressões da função em cada intervalo (peguei essas expressões do enunciado).]

Passo 2

Vamos relembrar rapidamente o que é limite lateral e quando o limite total existe.
  • A definição operacional: \displaystyle \lim_{t\to a^{-}} G(t) é o valor que G(t) se aproxima quando t tende a a por valores menores que a. Análogo para \lim_{t\to a^{+}} G(t) com t vindo por valores maiores que a.
  • O limite \displaystyle \lim_{t\to a} G(t) existe se, e somente se, as duas one-sided limits existem e são iguais:
\lim_{t\to a}G(t)\\ \text{existe}\quad\Leftrightarrow\quad \lim_{t\to a^{-}}G(t)=\lim_{t\to a^{+}}G(t).
  • Propriedade útil: funções elementares contínuas (por exemplo \sqrt[3]{x} e \sqrt{x} no domínio em que estão definidas) transmitem limites: se h é contínua e \lim_{t\to a} u(t)=L com u(t) dentro do domínio de h, então \lim_{t\to a} h(u(t))=h(L).
    Vamos aplicar essas ideias para cada caso, usando as expressões relevantes de G à esquerda e à direita dos pontos -1 e 1.

Passo 3

Calcular \displaystyle \lim_{t\to -1^{-}} G(t).
Quando t\to -1^{-} usamos a definição para t\le -1:
G(t)=\sqrt[3]{t+1}.
Faça a substituição u=t+1. Então quando t\to -1^{-} temos u\to 0^{-}. A função u\mapsto \sqrt[3]{u} é contínua em todo \mathbb{R}, logo
\lim_{t\to -1^{-}} G(t)=\lim_{u\to 0^{-}} \sqrt[3]{u}=\sqrt[3]{0}=0.
Observação: embora os valores à esquerda sejam negativos (porque u<0 \sqrt[3]{u}<0), o limite numérico é 0.

Passo 4

Calcular \displaystyle \lim_{t\to -1^{+}} G(t).
Quando t\to -1^{+} usamos a definição para -1<t<1:
G(t)=\sqrt{1-t^{2}}.
Analise a quantidade dentro da raiz ao aproximar t de -1. Note que
1-t^{2}=(1-t)(1+t).
Para t>-1 mas perto de -1 temos 1+t>0 pequeno e 1-t>0 próximo de 2, portanto 1-t^{2}\to 0^{+}. A função \sqrt{\cdot} é contínua para argumentos não negativos, então
\lim_{t\to -1^{+}} G(t)=\sqrt{\lim_{t\to -1^{+}}(1-t^{2})}=\sqrt{0}=0.
Aqui os valores à direita são não negativos, aproximando 0 por cima, mas o valor do limite é 0.

Passo 5

Concluir sobre \displaystyle \lim_{t\to -1} G(t).
Dos passos anteriores temos
\lim_{t\to -1^{-}} G(t)=0\qquad\text{e}\qquad \lim_{t\to -1^{+}} G(t)=0.
Como as duas one-sided limits existem e são iguais, o limite total existe e é
\lim_{t\to -1} G(t)=0.
(Ainda: o valor da função em t=-1 é G(-1)=\sqrt[3]{-1+1}=0, então a função é contínua em -1.)

Passo 6

Calcular \displaystyle \lim_{t\to 1^{-}} G(t).
Para t\to 1^{-} estamos na parte -1<t<1 e portanto
G(t)=\sqrt{1-t^{2}}.
Ao aproximar t\to 1^{-} temos t^{2}\to 1 e 1-t^{2}\to 0^{+}. Usando continuidade da raiz,
\lim_{t\to 1^{-}} G(t)=\sqrt{0}=0.

Passo 7

Calcular \displaystyle \lim_{t\to 1^{+}} G(t).
Para t\to 1^{+} usamos t\ge 1:
G(t)=\sqrt[3]{t-1}.
Faça a substituição v=t-1. Quando t\to 1^{+} tem-se v\to 0^{+}. A função \sqrt[3]{v} é contínua, portanto
\lim_{t\to 1^{+}} G(t)=\lim_{v\to 0^{+}} \sqrt[3]{v}=\sqrt[3]{0}=0.

Passo 8

Concluir sobre \displaystyle \lim_{t\to 1} G(t).
Dos passos anteriores:
\lim_{t\to 1^{-}} G(t)=0\qquad\text{e}\qquad \lim_{t\to 1^{+}} G(t)=0.
Assim o limite total existe e é
\lim_{t\to 1} G(t)=0.
(O valor da função em t=1 é G(1)=\sqrt[3]{1-1}=0, logo a função é contínua em 1.)

Passo 9

Esboço do gráfico (descrição para desenhar rápido na prova):
  • Para t\le -1: é o gráfico de y=\sqrt[3]{t+1}, que é a cúbica deslocada para a esquerda de 1; em t=-1 atinge y=0 vindo de valores negativos à esquerda.
  • Para -1<t<1: é a metade superior do círculo de raio 1 centralizado na origem, y=\sqrt{1-t^{2}}. Ela toca o eixo t em (-1,0) e (1,0) e é positiva no interior.
  • Para t\ge 1: é o gráfico de y=\sqrt[3]{t-1}, cúbica deslocada para a direita de 1; em t=1 vale 0 e para t>1 fica positiva.
  • Em ambos pontos -1 e 1 as três partes se encontram no valor 0; não há salto — a curva do meio toca as duas cúbicas em (\pm1,0).

Resposta

(a) \,0
(b) \,0
(c) \,0
(d) \,0
(e) \,0
(f) \,0

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