Nos Exercícios de 1 a 22, faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado, se existir; se não existir, indique a razão disto.
F(x)= \begin{cases}\sqrt{x^{2}-9} & \text { se } x \leqslant-3 \\\ \sqrt{9-x^{2}} & \text { se } -3<x<3 \\\ \sqrt{x^{2}-9} & \text { se } 3 \leqslant x\end{cases}
\lim _{x \rightarrow 3^{+}} F(x);

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
F(x)= \begin{cases}\sqrt{x^{2}-9} & \text{se } x \leqslant -3,\\[4pt] \sqrt{9-x^{2}} & \text{se } -3<x<3,\\[4pt] \sqrt{x^{2}-9} & \text{se } 3 \leqslant x, \end{cases}
e pede o limite \lim_{x\to 3^{+}} F(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O ponto de interesse é x=3, aproximando-se pela direita (isto é, x>3 e x\to3).
  • Para valores de x com 3\leqslant x (e, em particular, para x>3), a definição da função é F(x)=\sqrt{x^{2}-9}.
    A resolução verdadeira começa no próximo passo.]

Passo 2

Identificar qual ramo da função usamos quando x\to3^{+}.
Como x aproxima-se de 3 vindo da direita, temos x>3 (mas muito próximo de 3), portanto devemos usar o ramo
F(x)=\sqrt{x^{2}-9}.

Passo 3

Explicar por que podemos avaliar o limite substituindo / analisando esse ramo.
A função \sqrt{t} é contínua em seu domínio [0,\infty). Se a expressão dentro da raiz tende a um número L\ge 0 quando x\to 3^{+}, então \sqrt{\text{essa expressão}}ã tende a \sqrt{L}. Portanto basta estudar o comportamento de x^{2}-9 quando x\to3^{+}.

Passo 4

Calcular o limite diretamente (forma algébrica com mudança de variável para ver o comportamento).
Faça x=3+h com h\to0^{+} (isto é, h>0 e h\to0). Então
x^{2}-9=(3+h)^{2}-9=9+6h+h^{2}-9=6h+h^{2}=h(6+h).
Como h>0, temos h(6+h)\ge 0, e
\sqrt{x^{2}-9}=\sqrt{h(6+h)}=\sqrt{h}\,\sqrt{6+h}.
Quando h\to0^{+} temos \sqrt{h}\to 0 e \sqrt{6+h}\to\sqrt{6} (um número finito), então o produto tende a 0. Logo
\lim_{x\to3^{+}}\sqrt{x^{2}-9}=0.

Passo 5

Interpretação final e comentário útil para a prova.
Portanto a limite pelo lado direito existe e vale 0. Observação rápida: o limite pelo lado esquerdo também é 0 (pois para x<3 perto de 3 usamos \sqrt{9-x^{2}} que tende a 0), e o valor da função em x=3 (pelo ramo 3\le x) é F(3)=\sqrt{9-9}=0, então a função é contínua em x=3. Mas como a pergunta pedia apenas \lim_{x\to3^{+}}F(x), o importante já está encontrado.

Resposta

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