O ponto de interesse é x=3, aproximando-se pela direita (isto é, x>3 e x\to3).
Para valores de x com 3\leqslant x (e, em particular, para x>3), a definição da função é F(x)=\sqrt{x^{2}-9}.
A resolução verdadeira começa no próximo passo.]
Passo 2
Identificar qual ramo da função usamos quando x\to3^{+}.
Como x aproxima-se de 3 vindo da direita, temos x>3 (mas muito próximo de 3), portanto devemos usar o ramo
F(x)=\sqrt{x^{2}-9}.
Passo 3
Explicar por que podemos avaliar o limite substituindo / analisando esse ramo.
A função \sqrt{t} é contínua em seu domínio [0,\infty). Se a expressão dentro da raiz tende a um número L\ge 0 quando x\to 3^{+}, então \sqrt{\text{essa expressão}}ã tende a \sqrt{L}. Portanto basta estudar o comportamento de x^{2}-9 quando x\to3^{+}.
Passo 4
Calcular o limite diretamente (forma algébrica com mudança de variável para ver o comportamento).
Faça x=3+h com h\to0^{+} (isto é, h>0 e h\to0). Então
Quando h\to0^{+} temos \sqrt{h}\to 0 e \sqrt{6+h}\to\sqrt{6} (um número finito), então o produto tende a 0. Logo
\lim_{x\to3^{+}}\sqrt{x^{2}-9}=0.
Passo 5
Interpretação final e comentário útil para a prova.
Portanto a limite pelo lado direito existe e vale 0. Observação rápida: o limite pelo lado esquerdo também é 0 (pois para x<3 perto de 3 usamos \sqrt{9-x^{2}} que tende a 0), e o valor da função em x=3 (pelo ramo 3\le x) é F(3)=\sqrt{9-9}=0, então a função é contínua em x=3. Mas como a pergunta pedia apenas \lim_{x\to3^{+}}F(x), o importante já está encontrado.